GalaxyOJ 8699 午夜后的棒棒糖

合集 - 线性基(2)

1.ABC141F2023-12-23

2.GalaxyOJ 8699 午夜后的棒棒糖2023-12-23

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挺高妙的题，思维套结论。

题意：给定 $n$ 个数，求在其中选三个不交的子集，使得其异或和相等的方案数。

三个不交的集合异或和相等 $\iff$ 两两异或和为 $0$。

观察两个异或和为 $0$ 的集合 $S,T(\ne \varnothing )$ 和答案有什么关系。

• 有交但不包含

设 $R=S\cap T$，则有 $\underset{i\in R}{⨁}{a}_i=\underset{i\in S\setminus R}{⨁}{a}_i=\underset{i\in T\setminus R}{⨁}{a}_i$。

再考虑分出来这三个集合被计算了多少遍。发现一共有 $6$ 中不同的 $(S,T)$ 会得到这三个集合，也正好该集合的轮换数量。所以可以看作每对 $(S,T)$ 都对答案产生了 $1$ 的贡献。于是 $A,B,C$ 都不为 $\varnothing$ 的情况就计数完了。

• else

因为三个非空集合的情况已经计数完了，无交的情况就考虑计数 $A,B,C$ 有一个为空集的情况。发现相互包含本质上就是小集合并上另一个集合等于大集合。

和上面类似的，发现每个集合仍然被算了 $6$ 次。

综上，得出结论：最多有一个为 $\varnothing$ 的三元组个数 $=$ 选 $S,T$ 的方案数。

剩下两种情况也很好算，就不展开讲了。

upd：发现其实有一种简单很多的做法……

发现 $A,B,C$ 无交，所以 $(A,B,C)\iff (A\cup B,B\cup C)$ 双射。

所以答案即为 $(S,T)$ 的个数的平方。这是个线性基经典问题，解决。

我是不是做过类似题来着？鉴定为打表技巧没有掌握好。@sk