#9134. 翻转硬币 题解

合集 - 思维题(4)

1.GalaxyOJ 8699 午夜后的棒棒糖2023-12-232.AGC034E2023-11-08

3.#9134. 翻转硬币 题解2023-10-12

4.CF1536E2023-12-23

收起

首先考虑一些简单的情况，比如 $m=1$。

容易发现操作 1 和操作 2 的顺序不会影响结果，于是可以钦定所有操作 1 在操作 2 之前。并且可以发现，进行完所有 1 后 2 的次数即为 $(\text{连续段个数}-1)$。

然后考虑将 $m>1$ 的情况。显然最后序列上每 $m$ 长度分一段，则每一段都相同，最后一段例外，是和其他段的一段等长前缀相同。那么设最后每段都为 $S$，一开始每段的状态为 $A_i$，则在所有操作 2 之前，都有 $S=A_i$ 或 $S=flip(A_i)$。$flip(X)$ 表示把 $X$ 串内所有数 $\oplus 1$。然后定义一个序列 $c_i$ 表示第 $i$ 段有没有被 $flip$。则与 $m=1$ 时一样，需要进行操作 2 的次数即为 $c$ 的连续段个数。

上面的是 naive 的，相信大家赛时都想出来了。

然后考虑如何解决这个转化后的问题。如果考虑 dp，则会发现不管将这个状态和操作 1 还是 2 联系起来，都会对另一种操作有后效性。很难设计状态。贪心什么的就更难了。

此时发现我们的路已经被堵死了。那就要从头开始考虑这个问题。

我们观察一下数据范围，$n\le 300$。很像一个 $n^3$ 的问题。但是刚才已经基本否定了常规解法。

你突然想到 $m$ 长度一段，就共有 $\lceil {\displaystyle \frac{n}{m}}\rceil$ 段。看到这个分数，联系 $n\le 300$，你发现 $\sqrt{n}\le 20<\log {10}^6$。你发现你可以根号分治！

• $m\le \sqrt{n}$

则上文的 $S$ 长度 $\le 20$。暴力状压 $S$，对于每一种 $S$，考虑 dp。设 $d{p}_{i,0/1}$ 为当前处理到第 $i$ 段，有没有翻转的最小操作数。则有：

$$d{p}_{i,j}=min(d{p}_{i-1,j}+\mathrm{popcount}(S\oplus c_i\oplus (j\times (2^m-1)),d{p}_{i-1,j\oplus 1}+\mathrm{popcount}(S\oplus c_i\oplus (j\times (2^m-1)))+1)$$

其中 $(j\times (2^m-1))$ 部分是要看这一段是否翻转，$+1$ 则是因为新增连续段。

初始状态为 $d{p}_{0,0}=0$

最后一个不完整的段要特殊处理，差别不大。

• $m>\sqrt{n}$

则段数 $\le 20$。暴力状压 $c$，然后处理 $S$。根据 $S$ 当前位 $0/1$ 的数量，贪心地选择更小的，再加上操作 2 次数。全部取最小值即为答案。

时间复杂度 $O(2^{\sqrt{n}}\times n)$。挺稳的。

以上内容纯属杜撰。