线性基学习笔记

我废话怎么这么多wwwwwwwwwww$\mathrm{地}\mathrm{址}$

rebuild

思想就是使满足线性基的条件下，使每一个二进制位只在一个位置上为 1。

可以用高斯消元直接处理出，也可以处理出任意一组线性基后从后往前扫一遍，如果 $a_i$ 第 $j$ 位上为 $1$，则 $a_i\oplus a_j\to a_i$。此时如果用一个二进制数表示取线性基中的哪些数异或起来，记作 $b_S$，则 $b$ 单调上升。

queryKth（去重）

将一组线性基 rebuild 后的性质很好，所以结果即为 $b_k$。

queryRank

二分+queryKth 是 $O({\log }^{2}n)$ 的。但是可以考虑类似倍增的东西，rebuild 后从后往前扫一遍，异或之后值不超过 $x$ 就异或上并加上排名贡献。$O(\log n)$。

merge

直接将 $b$ 中每个往 $a$ 做一次 insert。

Lemma 1

$n$ 个数组成大小为 $s$ 的线性基，组合出 $2^s$ 个不同的数，每个出现 $2^{n-s}$ 次。

Proof：考虑在不在线性基中的数中选择一个子集异或和为 $x$，则在线性基中一定有一种方法组合出异或和 $x$ ，否则子集中应有一些数会插入线性基。并且只有一种方法，否则不满足线性基条件。则得到为 $0$ 的异或和后，再使用线性基内的数组合一下就可以得到这 $2^s$ 个数中的任意一个。

prefix

线性基其实是很灵活的，对于一段区间的查询，考虑对于每个前缀的线性基，怎么样才能在保证拼出每一个数的情况下，使用到的数所在的位置在序列中尽可能后，这可以通过一个贪心解决。

感觉这是可以举一反三的，但是我还没想出来。

queryMin

想想就会系列。先把 $x$ 对全集取个反，然后放做一遍 queryMax，最后再取个反，就是异或两次。