扩欧学习笔记

扩欧这玩意儿暑假就学了，但是一直仅限于背 $y=\cdots$，背完就忘，于是搞个学习笔记加深印象。

解方程 $ax+by=gcd(a,b)$

设 $a{x}_1+b{y}_1=gcd(a,b)$，$b{x}_2+(a\mathrm{mod}b)y_2=gcd(b,a\mathrm{mod}b)$。

根据欧几里得算法可知，$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{mod}b)$。

所以 $a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(a\mathrm{mod}b)y_2$。

又 $\begin{array}{rl}b{x}_2+(a\mathrm{mod}b)y_2& =b{x}_2+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b)y_2\\ & =b(x_2-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_2)+a{y}_2\end{array}$

又 $a,b$ 相同，所以 $x_1=y_2,y_1=x2-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_2$。

$b=0$ 时 $x=1,y=0$，递归求解即可。

code：

点击查看代码

int n,m;
int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int ret=ex_gcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return ret;
}
void solve(){
	int x,y,ans=ex_gcd(n,m,x,y);
	printf("%d %d %d\n",x,y,ans);
}
signed main(){
	int t=1;
	while(~scanf("%d%d",&n,&m))solve();
}

别问为什么和OI Wiki上的一样，但是我认为自己手打一遍还是记得住的。