CF1768F

合集 - dp(24)

1.无论如何，我都不会离开你的。2023-12-042.如果会做题就好了2023-12-043.CF1174E2023-11-154.ABC219H2023-11-085.AGC034E2023-11-086.#9134. 翻转硬币 题解2023-10-127.ABC243F2023-07-158.ARC090E2023-07-159.[P4965]薇尔莉特的打字机 题解2023-01-0910.P63712023-02-1711.P97452023-12-2312.P95232023-12-2313.AT_joisc2015_i2023-12-2314.ABC321G2023-12-2315.CF1140G2023-12-23

16.CF1768F2023-12-23

17.CF1917F2024-01-0718.ARC162F2024-01-1619.旅行者2024-01-2120.CF1218A2024-03-0921.CF288E2024-03-0922.CF382E2024-03-0923.CF1799G2024-03-0924.CF263E2024-03-09

收起

dp+根号分治，配得上省选题的难度。

一眼 dp，虽然暴力肯定过不了，但是把朴素转移先列出来绝对没坏处。

$$d{p}_i=\underset{1\le j<i}{min}(d{p}_j+\underset{j\le k\le i}{min}{a}_k\times v)$$

这个东西很难用 DS 维护，有 $min$ 的存在又很难斜优啥的，就想到有一种方法优化：限制可行状态数。

假设要求从 $i$ 跳到 $j$。若一步从 $i$ 到 $j$ 是最优的，那么它的花费一定小于一步一步跳的花费，即

$$\underset{i\le k\le j}{min}{a}_k\times (i-j{)}^2\le (i-j)\times n$$

这是因为值域上界为 $n$。

化简一下，得到

$$\underset{i\le k\le j}{min}{a}_k\le \frac{n}{i-j}$$

看到分数就可以想到根号分治。

• $i-j\le \sqrt{n}$ 时，暴力枚举 $j$ 转移。时间复杂度 $O(\sqrt{n})$。

• $i-j>\sqrt{n}$ 时，枚举 $\underset{i\le k\le j}{min}{a}_k$。又因为有一个性质：最优情况下一定有 $k=i$ 或 $k=j$。因为 $((i-k{)}^2+(k-j{)}^2)\times a_k\le (i-j{)}^2\times a_k$。这时又可以分两种情况。

• $k=j$ 时，记录每一个 $\le \sqrt{n}$ 的数上一次出现的位置，每次枚举转移。时间复杂度 $O(\sqrt{n})$。

• $k=i$ 时，如果 $a_i\le \sqrt{n}$，从 $i$ 往前暴力枚举转移，直到遇到一个 $a_k\le a_i$ 为止。这一部分的复杂度呢？根据楼上大佬的说法，“对于 $[1,\sqrt{n}]$ 内的每个值，最多可能扫完整个序列一次”。所以均摊复杂度 $O(\sqrt{n})$。

总时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$。其他的不说，这个分讨的复杂度太优美了。

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