ABC321G

合集 - bitmask(6)

1.GalaxyOJ 8699 午夜后的棒棒糖2023-12-232.ABC141F2023-12-233.P97452023-12-23

4.ABC321G2023-12-23

5.CF850C2023-12-236.CF1917F2024-01-07

收起

其实赛时可能可以做出来的，只是打了前 6 道想下班了，有点小小遗憾。

首先问题看起来很唬人，考虑转换一下。考虑已经固定 $m$ 条边，对于一个集合 $S$，什么时候会不与其他点有边。容易发现，此时需要满足 $\sum [R_i\in S]=\sum [B_j\in S]$。记这个数为 $c_S$。但是这还不够，因为 $S$ 中点连边方案数还没有计算。

这个答案显然不是 $c_S!$。因为 $S$ 可能可以分成两个集合 $s,t$ 都满足上述条件，则会重复计算。考虑如何去重。设 $d{p}_s$ 为集合 $S$ 的答案。我们钦定 $t$ 包含 $S$ 里最小的元素，则有 $d{p}_s=c_s!-\sum _{t\in S}d{p}_t\times (c_s-c_t)!$。

然后怎么办呢？

作者表示再做一遍 dp，$O(m{3}^m)$ 解决。还真过了。

但是事实上 $ans=\sum d{p}_s\times (m-c_s)!$。解决。

code：

点击查看代码

int n,m,e[23],d[23],f[N],g[N],h[N],c[N];
il int Mod(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
il int lowbit(int x){return x&(-x);}
il int qpow(int x,int y){
	int ret=1;
	while(y){
		if(y&1)ret=1ll*ret*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;y>>=1;
	}
	return ret;
}
void Yorushika(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	f[0]=1;
	rep(i,1,m){
		int x;scanf("%d",&x);
		e[x]++;
		f[i]=1ll*f[i-1]*i%mod;
	}
	rep(i,1,m){
		int x;scanf("%d",&x);
		d[x]++;
	}
	const int k=1<<n;
	int ans=0;
	rep(i,1,k-1){
		rep(j,0,n-1){
			g[i]+=e[j+1]*(i>>j&1);
			h[i]+=d[j+1]*(i>>j&1);
		}
		if(g[i]!=h[i])
			continue;
		c[i]=f[g[i]];
		for(int j=(i-1)&i;j;j=(j-1)&i){
			if(g[j]!=h[j]||lowbit(i)!=lowbit(j))
				continue;
			c[i]=Mod(c[i],mod-1ll*c[j]*f[g[i]-g[j]]%mod);
		}
		ans=Mod(ans,1ll*c[i]*f[m-g[i]]%mod);
	}
	printf("%lld\n",1ll*ans*qpow(f[m],mod-2)%mod);
}
signed main(){
	int t=1;
	//	scanf("%d",&t);
	while(t--)
		Yorushika();
}