数学学习路径
本文根据收集的USTC数学手册、北大数学系培养计划、知乎大V回答等进行编写。
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基础1.0:线代\微积分\概率论与数理统计\微分方程
提升2.0:随机过程\时间序列\数值分析\优化理论\决策论
进阶3.0:随机微积分\测度论\实(泛函)分析\贝叶斯统计\非参
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链接:https://www.zhihu.com/question/35240901/answer/319594274
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本科基础课程:
Multivariate Calculus 多元微积分
Linear Algebra 线性代数
Probability and Mathematical Statistics 概率和数理统计
这三门课应该是基础中的基础,微积分和线代不用说太多,概率统计要达到Calculus-based,会讲到各种Distribution,Statistical Inference, Maximum Likelihood, Hypothesis Test, Bayesian Statistics,对于金工的基础十分重要
Stochastic Processes 随机过程
这门课比较关键,因为对股价的建模会用到随机过程的知识,比如Markov Chain,Optimal Stopping, Martingale等
Ordinary Differential Equation 常微分方程
Partial Differential Equation 偏微分方程
Optimization 最优化
这三门课属于应用数学和工程类学的比较多,不用特别深入了解,偏微分方程的数值方法求解在金工运用比较广泛
硕士核心课程:
Option Pricing / Financial Mathematics 期权定价/金融数学
这门课主要是从离散的模型Binomial Model开始学期权定价的思想,之后会学到连续模型,学一些Ito's Lemma作为基础结合Geometric Brownian Motion引出著名的Black-Scholes Model,用Replication或者Martingale来证明,难一点还会讲Numeraire Change来定价其他衍生品
Stochastic Calculus 随机微积分
这门课应该是期权定价的理论支撑和广度的扩展。包括对Martingale和Brownian Motion的详细推导和应用,Stochastic Integration, Feynman-Kac, Change of measure and Girsanov theorem都是重点内容,这个在芝加哥大学由Greg Lawler教,受益匪浅)
Numerical Methods 数值方法
用数值方法编程来解定价衍生品中出现的PDE和其它问题,比如Tree as diffusion approximations,Finite Difference, Monte Carlo, Fourier Transform
Portfolio Theory 资产组合理论
这个严格意义上说,不是数学或者统计课,而是把一些数学统计方法利用在金融上。这课会有mean-variance analysis,CAPM,Fama-French等一些portfolio金融模型,主要是针对风控。
此外还有一些课程如Regression Analysis and Quant Trading Strategies 回归分析和量化交易策略, Fixed Income Derivatives 固定收益衍生品等也是引用数学和统计方法来做金融建模。
综上所述,金融工程需要一个强大的数学统计基础,所以每年金工项目招理工科背景的本科生都很多,加油~
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本科修的是金融学-数学双学位,研究生读的Financial Mathematics,比较了解。
由于我是完全修读了一个学位,所以肯定要比本科修读金融工程的学生上过的数学课要更多更体系化。我把数学系本科课程中,在金融工程以及我研究生学习中最有用的几门课列举一下:
数学分析 * * *
高等代数 * *
常微分方程 *
偏微分方程 * * *
实变函数 *
泛函分析 *
概率论 * * *
数理统计 * * *
时间序列分析 * * * * *
随机过程 * * *
随机微分方程 * * * * *
请按我给出的顺序学习,已经标出了各个课程与金融工程的相关程度( * 越多越重要)。
基本就这些了,至少我读研究生所需要的数学知识基本够用了。
金融工程可能还需要补一些编程的知识,C++、JAVA、MATLAB、VBA等……
至于教材,实在太多了,列举好麻烦,百度下“北大数学系本科教材”,对照相应专业的去看吧,金融工程的教材可以看一下国外的,也是请自行百度吧。
作者:知乎用户
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作者:🎃🌟🎃(来自豆瓣)
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非常好的书,如果感觉难得话先把普林斯顿微积分读本读一遍再看这本书就可以了,虽说难点,不会的地方看个5-6遍也就会了。
上大学时候只知道运用公式和定理能解题,像个机器。但是公式和定理怎么来的,公式和定理隐含的意义根本不知道。看完这本书终于明白了一些定理是如何被证明出来的。要证明这个定理都需要哪些引力,引力都怎么来的。
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作者:陆葳蕤pastos(来自豆瓣)
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我作为一个智力残障人士,用了四个月的晚自习把这本书的前九章以及第十章开头读完了。根据某迷的意见,第十章学到微分几何自然就明白了,第十一章学到实分析自然也明白了,倒不如不读。
不得不说本书是一本经典之作,全是观点,基本没有技巧。另外本书可能没有大多数人说的那么难以入门,本智障读这本书的时候只有一点点微积分和线性代数基础,读得还是很顺畅的,关键就是不要怂,一个定理看不明白看十遍自己就明白了——事实上我倒回去看的也就只有 Fourier Series 和 rank theorem——故此,这本书用来自学实在是很好的选择,毕竟有了观点,锻炼技巧只是小事。
BabyRudin 的习题基本是不能跳的,一些重要结论被 Rudin 放在习题里面了。包括常微分方程的存在性定理和唯一性定理、(几乎整个)反常积分、Fourier Series 那个众所周知的单调性判别法。这么做的好处是主线十分明晰,并且极大地锻炼了你的能力。
总之,这是一本不可多得的好书。
然而,初学者总是容易迷茫的,如果有人指引那就太美妙了。我在下面按顺序理一下初学者可能遇到的问题,以及一些注意事项(自然截止我读过的地方)
第一章,没有什么好说的,很简单,本来属于实数系的东西很多被放在下一章了。
第二章,Rudin 最出名的地方之一,是以后整本 Rudin 语言的基础,初学可能有点困难,但必须好好体会和理解。另外,实数系的各种性质基本被放进这一章了。这一章有一个很坑的地方就是讲开集的时候没有强调开集和开集所在的空间有关系,在之后才提到,这个概念一定要理清,否则会极大地影响你后续的学习。这一章的习题很棒,最终给出了紧和无限序列必有极限点等价。
第三章,没什么好说的,也没有什么特色。不过习题给出了 Cantor 的实数构造法,还是很有意思。
第四章,基本是从拓扑的观点来看连续,为以后学习多元微积分提供了极大的方便,不过也没什么好说的。只不过要是你忘掉了开集一定要谈在什么集合上开,这里就会有很大的尴尬……
第五章,这里算是第一次进入了硬一点的分析,很容易出现不适应,撑过去就好了。
第六章,这里 Rudin 是在 Riemann-Stieltjes 积分上处理的问题,然而这里把 Riemann 积分推广到 Riemann-Stieltjes 积分多少有点意义不明——在打这一段的时候,我甚至忘掉了 Stieltjes 的名字怎么拼。积分的构造是很漂亮的,难得没有用一般教材上那种多少让人不适的方法。
第七章,非常优美的一章,结构精致主线明晰,最终证明的 Stone-Weierstrass theorem 可以算是数学分析里困难的定理之一,并且具有广泛的应用。这一章稍难理解,要读透。
第八章,整体不错,但是指数函数对数函数三角函数那里意脉稍显散乱,要回顾一下。Fourier Series 是一个很大的东西,这里轮廓都没能勾勒出来,Gamma Function 作为大作业很不错。习题真 TM 难算——毕竟你用 Rudin 是不能锻炼计算能力的。
第九章,bravo!从头到尾使用了 R^n 上的在线性映射框架下的观点,非常漂亮,浑然一体。这里出现了几个真正困难的定理(反、隐、秩),理解起来可能稍显困难,但是只要把握住核心(全微分在局部和函数有相同的性质),本质上还是简单的。习题倒不难,奇怪。
第十章,我只看到微分形式之前,这之前的处理其实也没有什么用,蛮难想象不懂 Lebesgue theory 能学 R^n 上的积分的。
这就是一个智障的微小的体会,可能对大家没有什么帮助,但要是能给一位在迷茫中的人一点点指引,那就太美好了。
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作者: Eberhard Zeidler / Wolfgang Hackbusch / H.-R.Schwarz
出版社: 科学出版社
副标题: 实用数学手册
《数学指南:实用数学手册》是一部畅销欧美的数学手册,内容全面而丰富,涵盖分析学、代数学、几何学、数学基础、变分法与优化、概率论与数理统计、计算数学与科学计算、数学史。《数学指南:实用数学手册》中收录有大量的无穷级数、特殊函数、积分、积分变换、数理统计以及物理学基本常数的表格;此外还附有极为丰富的重要数学文献目录。
数学百科,按照内容的相关性串联起来。想说两点,一是这本书全而不深,只适合参考,不能用来学习;二是这本书让人有一种看到“整个”数学森林的满足感和挫败感。
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【1】需要把精读和粗读结合起来,先粗读,读到读不懂为止,可以开始反过来精读,针对完全不懂的点去精读,这样就很容易把前后知识点连贯起来。精读后就可以做题目。一天做题目的数量不超过40道。能够做熟做通就可以。
【2】做笔记,最好是电子版本的笔记,增删改查都非常方便和清楚。简单的word就可以,加一个三级目录基本就足够用。
【3】概念和定义非常重要,各个定理也需要能口述出来。遇到一个包含特别多内容的定理的时候,往往觉得难以理解,但其实这些定理往往是最重要的部分,起到串联知识点和融会贯通前后的作用。
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