微积分学习笔记第18章——积分的方法I

从这一章开始一直到21章节，我认为在本书中都算是比较重要的章节。这几章都是关于积分的计算方法以及关于反常积分的运用。普林斯顿微积分这本书好就好在能够把一些抽象的基本概念拆开来讲，而不是上来就让读者硬着头皮去解题。这对于读者适应微积分的基本概念以至于将微积分的概念作为一门语言加以熟悉，并打好后面学习数学分析和概率论的基础，是非常重要的（普林斯顿概率论读本中会有很多将概率论概念和微积分进行强行对比以及用微积分解释概率论的桥段）。在本书最后的第30章中，也出现了了解计算过程和逻辑但不会求积分的情况（应该是求特解的过程中出现的，反正书中有提及18章分部积分的计算）。

概述

本章主要包括换元法求积分、分步积分法、使用部分分式对有理函数求积分。

18.1 换元法

 如何寻找被替换的函数——寻找其导数也在被积函数中的那些部分

 用t和dt分别替换x和dx，并在得到积分结果后将t换为x表达。如果是定积分的话，需要把上下限也换为X，也可以不换直接用t对应的数值进行计算。

1.3中的两种换元法的证明，需要特别注意理解。

18.2 分部积分法

 分部积分法是和求导的乘法法则紧密相关的。

分部积分法其实很好理解，主要就是udv=uv-vdu。进行计算的时候可以写出u，du，v，dv等（其中u和dv是已知的）。

有一些变形需要记住：

1.多次计算分部积分的情况

2.多次积分后得到原始积分的倍数的情况

3.积分是反三角函数或者ln（x）的情况（u为函数本身，dv=dx）

18.3 部分分式

 部分分式就是用于求有理函数的积分的方法，所谓有理函数，即分子分母均为关于x的函数。在进行有理函数的处理的时候，需要先把有理函数变成几个更简单的有理函数，例如一个常数除以线性函数，或者一个常数除以二次函数，或者一个线性函数除以二次函数的形式。

如果分步骤来看：

1.要确保函数的分子次数要小于分母的次数。如果不是这样，需要进行函数的变换，用分母除以分子，得到除数和余数。

2.接下来进行因式分解，按照线性式、线性式的平方、二次多项式、线性式的三次方、四次方等不同的情况，写出分部。分部仅仅和分母有关，和分子无关。

3.计算分部上面分子部分的常数值。

4.求解分母为线性项次幂的积分（可能是一次幂或者多次幂）。

5.对分母是二次函数的被积函数求积分。（不能因式分解的情况下进行配方和换元操作，最后结果应该是一个正切函数的反函数）