微积分学习笔记第30章——微分方程

概述

微分方程：就是包含导数的方程

本章主要学习内容：微分方程导论；可分离变量的微分方程；一阶线性微分方程；一阶和二阶常系数微分方程；微分方程建模

30.1 微分方程导论

微分方程的阶：一般地，一个微分方程的阶是其所包含的最高阶导数的阶。

求解微分方程：对于二阶的微分方程，需要积分两次。

30.2 可分离变量的一阶微分方程

什么叫可分离变量的微分方程：能够把一阶微分方程中所有关于y的部分包括dy放在一边，所有关于x的部分（dx）放在另外一边。

这里面有个关于反正切函数的例子，用python进行了函数的绘制。代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math
x = np.linspace(-5, +5, 100)   #分别代表最小，最大，数量， 生成一个等差数列
y = [math.atan(t) for t in x]
plt.plot(x, y)
plt.show()

30.3 一阶线性方程

一阶线性方程可能不是可分离变量的。

一个心得：求微分方程其实就是将含有dy/dx的等式通过变换，便成为一个不包含dy/dx的普通的函数表达式（y=f（x）的形式）。

积分因子的概念：通过一个例子了解，语言较难描述。具体计算步骤：通过y前面的系数计算积分因子，再将积分因子乘以微分方程本身，就可以得到一个一边为积分因子和y的乘积的导数。

 

 

这边有个例子：

计算原理基本清楚了，主要是运用积分因子来求解微分方程，但是最后的一个步骤，需要运用分部积分法对等式右边的表达式求积分。目前还没掌握（因为目前只看了17、30两章节）

 因此得到求解一阶线性微分方程的办法：

1.将包含y的部分移到公式的左边，并通过变换，确保dy/dx的系数为1，此时y前面的系数求积分并作为自然对数e的指数，得出的结果即为积分因子。

2.等式两边同时乘以积分因子，等式左边即可表示为d（f（x）y）/dx，f（x）为积分因子。

30.4常系数微分方程

这个章节包含的内容很多，主要是关于常系数微分方程的解法，有非常多的分支情况。

常系数微分方程可以整理成所有包含y和y对x的导数（其系数必须为常数）在左边，所有关于x的部分在右边的形式。

包括：

一阶常系数线性方程（齐次（右边为0，没有关于x的部分）、非齐次）

二阶常系数线性方程（齐次（右边为0，没有关于x的部分）、非齐次）(二阶齐次方程提取特征二次方程求解，分两个不同实根、一个相同实根、两个虚根分情况讨论，这边需要记公式；非齐次方程的话，需要求出特解yp，那么通解的形式即为Y=Yp+Yh)

在求特解的时候。需要根据表格套公式进行求解。详见P592。

注意点：Yh和Yp之间出现矛盾时，以x的幂乘以特解进行求解。

30.5微分方程建模

世界上很多的量都可以用微分方程来模拟或者近似。例如种群增长。这边的例子就是关于种群增长的例子。计算过程中再一次涉及了分步求积分方法（18章节），因此18章节应该是很重要的，需要仔细阅读。

关于微分方程，其实理解起来，就是已经了解了一个变量关于另外一个变量的瞬时变化速度，运用这个已知的瞬时变化速度（通常表现为dy/dx的形式），可以求解，了解变量之间的关系表达式。（即y=f（x）的形式的表达式）。

一点补充，微分方程最初是莱布尼茨发明的，在有了微分方程之后，科学家们就开始以微分方程的求解结果进行物理学方面的解释，从而预测物理过程的特定性质，所以求解就成为了微分方程的核心。上面所提到的积分因子的概念，其实是科学家克莱罗在1739年（这一年是乾隆四年，张廷玉刚刚修完明史，中国还处在近古的黑暗中）便已提出，直到18世纪40年代，一阶常微分方程的初等方法都已经基本清楚。