matlab学习：图像频域分析之傅里叶变换

1.傅里叶变换

1) 简介

数字图像处理的方法主要分成两大部分：空域分析法和频域分析法。空域分析法就是对图像矩阵进行处理；频域分析法是通过图像变换将图像从空域变换到频域，从另外一个角度来分析图像的特征并进行处理。频域分析法在图像增强、图像复原、图像编码压缩及特征编码压缩方面有着广泛应用。

如果一个信号f(t)在上满足：

①　f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件；

②　f(t)在上绝对可积即

就可以通过傅里叶变换把时域信号f(t)转化到频域进行处理：

然后再通过傅里叶反变换把频域信号转化到时域：

 

傅里叶变换是线性系统分析的有力工具，提供了一种把时域信号转换到频域进行分析的途径，时域和频域之间是一对一的映射关系。图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对 于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。

傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的 谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将 图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为 灰度分布函数。

2) 不足之处

经典Fourier变换只能反映信号的整体特性（时域，频域）。对傅里叶谱中的某一频率，无法知道这个频率是在什么时候产生的。从傅里叶变换的定义也可看出，傅里叶变换是信号在整个时域内的积分，因此反映的是信号频率的统计特性，没有局部化分析信号的功能。另外，要求信号满足平稳条件。傅里叶变换时域和频域是完全分割开来的。

l 由式

可知，要用Fourier变换研究时域信号频谱特性，必须要获得时域中的全部信息；

l 信号在某时刻的一个小的邻域内发生变化，那么信号的整个频谱都要受到影响，而频谱的变化从根本上来说无法标定发生变化的时间位置和发生变化的剧烈程度。也就是说，Fourier变换对信号的齐性不敏感。不能给出在各个局部时间范围内部频谱上的谱信息描述。然而在实际应用中齐性正是我们所关心的信号局部范围内的特性。如，音乐，语言信号等。即：局部化时间分析，图形边缘检，地震勘探反射波的位置等信息极重要。    

l 为解决傅里叶变换的局限性，产生了Gabor变换和小波变换。

关于傅里叶变换的详细分析可见：

http://user.qzone.qq.com/1078692293/infocenter#!app=2&via=QZ.HashRefresh&pos=1352979144