最近公共祖先（LCA）笔记

最近公共祖先（LCA）笔记

【模板】最近公共祖先（LCA）

题目入口

题目描述

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入格式

第一行包含三个正整数 $N,M,S$，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来 $N-1$ 行每行包含两个正整数 $x,y$，表示 $x$ 结点和 $y$ 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。

接下来 $M$ 行每行包含两个正整数 $a,b$，表示询问 $a$ 结点和 $b$ 结点的最近公共祖先。

输出格式

输出包含 $M$ 行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

样例 #1

样例输入 #1

5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5

样例输出 #1

4
4
1
4
4

提示

对于 $30\mathrm{\%}$ 的数据，$N\le 10$，$M\le 10$。

对于 $70\mathrm{\%}$ 的数据，$N\le 10000$，$M\le 10000$。

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le N,M\le 500000$，$1\le x,y,a,b\le N$，不保证 $a\ne b$。

样例说明：

该树结构如下：

第一次询问：$2,4$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

第二次询问：$3,2$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

第三次询问：$3,5$ 的最近公共祖先，故为 $1$。

第四次询问：$1,2$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

第五次询问：$4,5$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

故输出依次为 $4,4,1,4,4$。

2021/10/4 数据更新 @fstqwq：应要求加了两组数据卡掉了暴力跳。

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大致思路

就原本是两个点一步一步往上跳直到跳到同一点上。优化的方法是根据两个节点的的深度，如不同，向上调整深度大的节点，使得两个节点在同一层上，如果正好是祖先，结束；否则，将两个节点同时上移，查询最近公共祖先(两个过程均使用倍增加速)。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5;
int n,m,rt;
vector<int>g[N];
int read()
{
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return x*f;
}
int f[N][21];//f[i][j] 结点i往上跳2^j步的祖先结点
//f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]
int d[N];//d[i] 结点i处于第几层
void dfs(int u,int fa)
{
	f[u][0]=fa;
	for(int i=0;i<(int)g[u].size();i++)
	{
		int v=g[u][i];
		if(v==fa) continue;
		d[v]=d[u]+1;
		dfs(v,u);
	}
}
int get_lca(int x,int y)
{
	//d[x]>d[y]
	if(d[x]<d[y]) swap(x,y);
	int cha=d[x]-d[y];
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(cha>>i&1) x=f[x][i];//x和y处于同一层
	if(x==y) return x;
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
	return f[x][0];
}
int main()
{
	n=read();m=read();rt=read();
	for(int i=1;i<n;i++) 
	{
		int x=read(),y=read();
		g[x].push_back(y);g[y].push_back(x);
	}
	d[rt]=1;
	dfs(rt,rt);
	for(int j=1;j<=20;j++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
	while(m--)
	{
		int x=read(),y=read();
		printf("%d\n",get_lca(x,y));
	}
	return 0;
}