The sol to Bismuth / Linear Sieve

The sol to Bismuth / Linear Sieve

https://www.luogu.com.cn/problem/P11169

思路

因为懒惰，所以直接转载了当时参考的这篇博客

https://www.luogu.com.cn/article/ys9ualoj

首先观察样例发现第一个样例一定是 \(\lceil \frac{n}{2} \rceil\)。

手推一下加入数字的过程：

当处理到数字二时，此时 \(cntp = 1, counter = 1\)，并将 \(isnotprime_{4}\) 赋值为 \(1\)。

当处理到数字三时，此时 \(cntp = 2, counter = 2\)，并将 \(isnotprime_{6}\) 赋值为 \(1\)。

......

首先大于所有大于 \(1\) 的奇数而言更新其他数字是否被筛到时，则必然枚举到 \(2\) 就停止了。

接着对于所有大于 \(0\) 的偶数而言更新其他数字是否被筛到时，由于本身是偶数，所以其筛出的数也必然是偶数。

由于两种筛法都没有办法筛出奇数，而 \(n\) 以内大于 \(1\) 的奇数有 \(\lceil \frac{n - 2}{2} \rceil\) 个，接着 \(2\) 一开始没有被筛到，所以 \(cntp\) 一定为 \(\lceil \frac{n - 2}{2} \rceil + 1 = \lceil \frac{n}{2} \rceil\)。

接着考虑计算 \(counter\) 的值，对于每个未被筛到的元素单独考虑贡献，假设 \(x\) 为筛倍数时筛到当前考虑的元素中某个 \(i\)，当前考虑元素为 \(y\)，\(l\) 为未被筛到的元素中小于等于 \(y\) 的 \(\operatorname{lcm}\)。

首先必然有 \(x \times y \le n\)，那么现在 \(x\) 的范围在 \([1, \lfloor \frac{n}{2} \rfloor]\) 之内，那么 \(x\) 整除 \(l\)，由于 \(l\) 增长速度较快，所以需要考虑的元素数量较少，那么只需要考虑这些 \(l \le n\) 中未被筛到的元素。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int gcd(int a,int b){
    return __gcd(a,b);
}
int lcm(int a,int b){
    return a/gcd(a,b)*b;
}
signed main(){
    freopen("Bismuth.in","r",stdin);
    freopen("Bismuth.out","w",stdout);
    int n;
    cin>>n;
    if(n==1){
        cout<<"0 0"<<endl;return 0;
    }
    cout<<((n+1)>>1)<<" ";
    int l=2;
    int ans=n/2/2;
    for(int i=2;i<n/2;i++){
        int nw=2*i-1;
        l=lcm(l,nw);
        if(l>n) break;
        ans+=(n/nw)/l;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

水完了。