刍议树状数组

树状数组

用处

区间加，单点查询
单点加，区间查询
区间加，区间查询
求逆序对
……

思想

树状数组的思想对于线段树等结构来说比较抽象，所以我也懒得讲……
在这我只讲一下我对于树组的理解，对于实战来说完全够用。

先讲一个叫 \(lowbit\) 的东西，求一个数二进制下最后一个 \(1\) 的位置，比如 \((1010110)_2\) 的 \(lowbit\) 为 \((10)_2\) 。

然后在树状数组里我们定义一个 \(c\) 数组，里面存区间 \([i-lowbit(i)+1,i]\) 的所有数之和。

然后你可以这样理解： 对于二进制 \(i\) 位上的为 \(1\) ，查询的时候累计所有第 \(i\) 位置上为 \(1\) 的 \(c_i\) 之和，修改的时候把每一个二进制上的为 \(1\) 的位置来修改。

有些抽象，还是看代码吧……

树状数组支持的操作有两种

\(1.\) 查询前缀和

int ask(int x){
    int ans=0;
    while(x<=n){
        ans+=c[x];
        x+=lowbit(x);
    }
    return ans;
}

$ 2. $ 单点修改

int add(x,k){
    while(x){
        c[x]+=k;
        x-=lowbit(x);
    }
} 

求逆序对

用 \(t[val]\) 来记录每个数在数组 \(a\) 出现的次数，我们再用树状数组来维护这个前缀和。

逆序对条件 $i<j $ 并且 \(a[i] > a[j]\)

So 从右往左遍历数组 \(a\)
步骤：
\(1.\) 查询当前 t[a[i]-1] 的前缀和，累加到答案上，因为是从右往左扫的，所以比当前位置的数小的就是逆序对的个数，自己好好想一想是不是这样。

$ 2. $ 单点增加，把 \(a[i]\) 的出现次数+1，即 \(t[a[i]]\)++ ，同时维护其前缀和。

代码

for(int i=n;i;i--){
    ans+=ask(a[i]-1);
    add(a[i],1);
}

复杂度为 \(O( (N+M) log M )\),$ M $为数据范围大小

当然了，当数据范围较大时，要先离散化，本生就要排序，所以在数据范围较大时不如直接用归并排序。

例题：

https://www.acwing.com/problem/content/description/243/

区间修改，单点查询

用差分思想，树状数组维护一个差分数组数组 \(b\)

操作时

add(l,d);
add(r+1,-d);

就行了。

例题：

https://www.luogu.com.cn/problem/P3368

区间修改，区间查询

修改操作思路不变，用差分数组 \(b\) 来实现。

emm……下面太难写了，拉一段李煜东大哥的书吧

在本题中，我们增加一个树状数组，用于维护 \(i*b[i]\) 的前缀和，然后可以直接进行查询、计算。
具体来说，我们建立两个树状数组 \(c0\) 和 \(c1\) ，起初全部赋值为零。对于每条指令 \(“C l r d”\)，执行4个操作:

然后……
步骤:
1.在树状数组 \(c0\) 中，把位置 \(l\) 上的数加 \(d\)。
2.在树状数组 \(c0\) 中，把位置 \(r+1\) 上的数减 \(d\)。
3.在树状数组 \(c1\) 中，把位置 \(l\) 上的数加\(l* d\)。
4.在树状数组 \(c1\) 中，把位置 \(r+1\) 上的数减 \((r+1)*d\) 。

另外，我们建立数组 \(sum\) 存储序列 \(a\) 的原始前缀和。对于每条指令 \(“Qlr”\) 当然还是拆成 \(1~r\) 和 \(1~l-1\) 两个部分，二者相减。写成式子就是

sum[r]+(r+1)*ask(0,r)-ask(1,r) -  
sum[l-1]+l*ask(0,l-1)-ask(1,l-1);

例题：
https://www.acwing.com/problem/content/description/244/

大家应该不会偷懒去写线段树吧……

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,m;
const int N=1e5+5;
int a[N],sum[N],c[2][N];//c[0]->b[i]c[1]->i*b[i]
#define FOR(i,_l,_r) for(int i=_l;i<=_r;i++)
int lowbit(int x){
    return x&-x;
}
void add(int x,int id,int k){
    while(x<=n){
        c[id][x]+=k;
        x+=lowbit(x);
    }
}
int ask(int id,int x){
    int ans=0;
    while(x){
        ans+=c[id][x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);cout.tie(NULL);
    cin>>n>>m;
    FOR(i,1,n){
        cin>>a[i];
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    while(m--){
        char opt;
        int l,r,d;
        cin>>opt>>l>>r;
        if(opt=='C'){
            cin>>d;
            add(l,0,d);
            add(r+1,0,-d);
            add(l,1,l*d);
            add(r+1,1,-(r+1)*d);
        }
        else{
            int ans=sum[r]+(r+1)*ask(0,r)-ask(1,r);
            ans-=sum[l-1]+l*ask(0,l-1)-ask(1,l-1);
            cout<<ans<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

作业：
https://www.acwing.com/problem/content/description/245/
作业提示：二分答案……

完结撒花

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