后缀自动机 (SAM) 的构造及应用

cnblogs 怎么又炸了。
为什么又可爱又强的 xxn 去年 9 月就会的科技樱雪喵现在还不会呢 /kel。

感觉 SAM 的教程已经被前人写烂了啊。那就写点个人学习过程中对 SAM 的理解。
参考资料：KesdiaelKen-史上最通俗的后缀自动机详解、OI wiki-后缀自动机 (SAM)。

upd on 2023.10.25：补充了时空复杂度证明。

概述

SAM 是一个能够在线性时间内解决很多字符串问题的算法。

比如对于 $s=\mathtt{"abb"}$，构造出的 SAM 形如下图：

看得出来，它是一张有向无环图，其中每条边上标有一个字母表示转移。在图上的任意一条路径，把它经过的边上的字符接起来，都是 $s$ 的一个子串。相应地，$s$ 中的任意一个子串都能在 SAM 中找到至少一条对应的路径。
设 SAM 的起点为 $t_0$，则字符串 $s$ 的任意一个后缀都存在唯一一条从 $t_0$ 出发的路径与之对应。

SAM 就是用来构造满足上面条件，且点数与边数均最小的图的算法。
SAM 的点数（状态数）上界为 $2n-1$，边数（转移数）上界为 $3n-4$，时空复杂度均为 $O(n)$。这些将在后文给出解释与证明。

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在构建 SAM 之前，先要了解一些相关的概念和结论。

endpos

假设 $t$ 为 $s$ 的一个非空子串，我们定义 $t$ 在 $s$ 中的所有结束位置构成的集合为 $\text{endpos}(t)$。例如对于 $s=\mathtt{"abaab"}$，$\text{endpos}(\mathtt{"ab"})=\{2,5\}$。
那么 $s$ 的所有子串 $t$，可以根据它们 $\text{endpos}$ 的不同，将子串划分为若干个等价类。
为方便后文对 $\text{link}$ 性质的总结，这里定义空串 $\text{endpos}(\mathtt{""})=\{0,1,\dots,|s|-1,|s|\}$。

而这也就是 SAM 中节点的定义。SAM 中的每个节点恰好对应地表示一个 $\text{endpos}$ 等价类，所有从 $t_0$ 到这个点的路径表示的子串，它们的 $\text{endpos}$ 都相同，并与以其他点为终点的均不同。
因此，SAM 的节点个数即为 $s$ 所有子串不同的 $\text{endpos}$ 等价类个数 $+1$（起点）。

根据 $\text{endpos}$ 的定义，它有如下性质：

性质 1：若子串 $u$ 和 $w$ 属于同一等价类，且 $|u|<|w|$，则 $u$ 每次出现在 $s$ 中，都作为子串 $w$ 的后缀。

反证，若存在 $u$ 在某个结束位置 $x$ 出现，且它不是 $w$ 的后缀，那 $w$ 没法也在 $x$ 位置出现，与它们属于同一 $\text{endpos}$ 等价类矛盾。

性质 2：对于两个非空子串 $u$ 和 $w$（$|u|<|w|$），必然满足 $\text{endpos}(u)\cap\text{endpos}(w)=\varnothing$ 和 $\text{endpos}(w)\subseteq\text{endpos}(u)$ 其中之一。

• 若 $u$ 为 $w$ 的后缀：所有出现 $w$ 的位置一定会同时存在子串 $u$，而出现子串 $u$ 的位置不是一定有 $w$。故此时 $\text{endpos}(w)\subseteq\text{endpos}(u)$ 成立。
• $u$ 不是 $w$ 的后缀：依旧反证，如果有一个位置同时是它们两个的 $\text{endpos}$，$u$ 一定得是 $w$ 的后缀，与条件矛盾。此时 $\text{endpos}(u)\cap\text{endpos}(w)=\varnothing$ 成立。

性质 3：将一个 $\text{endpos}$ 等价类所包含的所有互不相同子串按长度升序排序，任意两串长度不相等，每个串都是下一个串的后缀，且长度差为 $1$。

• 若存在两个串长度相等，$\text{endpos}$ 相同，那这两个串一定相同，与子串互不相同矛盾。
• 设存在两个串 $u$ 和 $w$ 的 $\text{endpos}$ 相同，且 $|w|-|u|>1$。设 $v$ 为 $w$ 的一个后缀，且 $|u|<|v|<|w|$。那么由性质 1 知，$u$ 是 $v$ 的后缀。那么由性质 2，得 $\text{endpos}(w)\subseteq\text{endpos}(v)\subseteq\text{endpos}(u)$。又因为 $\text{endpos}(u)=\text{endpos}(w)$，则 $\text{endpos}(w)=\text{endpos}(v)=\text{endpos}(u)$。证得 $v$ 也必定属于该等价类。

link

对于 SAM 上除 $t_0$ 外的点 $v$，设它包含的子串中最长的一个是 $w$。定义这样的 $w$ 的长度为 $\text{len}(v)$。
根据上文的性质 3，我们知道：一段连续的，长度在 $[x,|w|]$ 之间的 $w$ 的后缀属于该等价类。在这里，我们定义点 $v$ 的后缀链接 $\text{link}(v)$ 表示 $w$ 最长且 $\text{endpos}$ 不等于 $v$ 的后缀所属的等价类节点。

对于 $\text{link}(v)$，有如下性质：

性质 4：把所有 $v$ 和 $\text{link}(v)$ 连边，则后缀链接构成一棵以 $t_0$ 为根的树。

• 根据定义，$\text{link}(v)$ 包含的子串均为 $v$ 子串的后缀。那么跳后缀链接过程中，子串长度单调递减，最后必然能跳到空串，即 $t_0$。

性质 5：对任意节点 $v$，都有 $\text{endpos}(v)\subsetneqq\text{endpos}(\text{link}(v))$。

• 由性质 2 和后缀链接的定义，$\text{link}(v)$ 包含的子串是 $v$ 包含的后缀，故 $\text{endpos}(v)\subseteq\text{endpos}(\text{link}(v))$；
• 它们一定不相等，因为如果相等应该合并成一个点。

同时，我们得到关于 $\text{minlen}(v)$ 的表达式：$\text{minlen}(v)=\text{len}(\text{link}(v))+1$。

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正片开始

SAM 的构造

这是一个在线算法，也就是说我们逐一加入字符，并对应地构造出当前字符串的 SAM。现假设已经构造完了串 $s$，要在 $s$ 后面添加一个字符 $c$。
这里先粘个板子，再逐一解释每句代码的含义。

void add(int c)
{
    int p=lst,np=lst=++tot;
    d[np].len=d[p].len+1;
    for(;p&&!d[p].ch[c];p=d[p].fa) d[p].ch[c]=np;
    if(!p) {d[np].fa=1;return;}
    int q=d[p].ch[c];
    if(d[q].len==d[p].len+1) d[np].fa=q;
    else
    {
        int nq=++tot; d[nq]=d[q];
        d[nq].len=d[p].len+1,d[q].fa=d[np].fa=nq;
        for(;p&&d[p].ch[c]==q;p=d[p].fa) d[p].ch[c]=nq;
    }
}

背下来背下来。

int p=lst,np=lst=++tot;
d[np].len=d[p].len+1;

在已有的字符串后面接了一个 $c$，考虑多了哪些子串：原来 $s$ 的每个后缀（包含空串）后面接一个 $c$。
设 $lst$ 为原来表示整个 $s$ 串的点，即 $\text{endpos}=|s|$ 的点；那么 $s+c$ 这个字符串用现在的 SAM 肯定表示不出来，我们要建一个新点 $np$，并连一条 $lst\to np$ 的边来表示新串。
那么这个新点包含的最长子串长度显然为 $|s|+1$，即 $\text{len}(lst)+1$。

for(;p&&!d[p].ch[c];p=d[p].fa) d[p].ch[c]=np;
if(!p) {d[np].fa=1;return;}

我们现在的 SAM 表示出了 $s+c$ 这一整个子串，接下来我们要让 $s$ 的每个后缀后面都接上 $c$ 这个转移。
对于第一个循环，p=d[p].fa 就是枚举 $s$ 的所有后缀，并让它向 $np$ 连边。如果循环过程中没有发现一个 $p$ 连过 $c$ 这条边，代表新串的所有后缀都没有在原串中出现过，它们的 $\text{endpos}$ 都是 $|s|+1$，那么根据 $\text{link}$ 的定义，第一个不属于该等价类的后缀就是空串，即 $\text{link}(np)=t_0$。
否则如果跳的过程中发现有一个 $p$ 连过 $c$ 这条边了，那么 $p$ 的后缀链接自然也都连过 $c$ 边，无需继续循环；则接下来的后缀都是以前在 $s$ 里就出现过的子串，要把这种情况拿出来继续讨论。

int q=d[p].ch[c];
if(d[q].len==d[p].len+1) d[np].fa=q;

这里需要讨论 $\text{len}(p)$ 和 $\text{len}(q)$ 的关系。
考虑 $\text{len}(q)=\text{len}(p)+1$ 的实际含义。感觉这里很神秘啊。
对于所有连向点 $q$ 的点 $p$，里面显然只有一个点满足 $\text{len}(q)=\text{len}(p)+1$。那如果这条边正好是 $c$，就代表 $\text{longest}(q)=\text{longest}(p)+c$。
根据 $\text{endpos}$ 的性质 3，这就保证了 $q$ 包含的所有子串都是新字符串的一个后缀。它们的 $\text{endpos}$ 集合都增加了一个 $|s|+1$，依旧属于同一个等价类，不用改动。
而 $\text{link}(np)$ 自然也就是 $q$。

else
{
    int nq=++tot; d[nq]=d[q];
    d[nq].len=d[p].len+1,d[q].fa=d[np].fa=nq;
    for(;p&&d[p].ch[c]==q;p=d[p].fa) d[p].ch[c]=nq;
}

到了最抽象的部分！
$\text{len}(q)>\text{len}(p)+1$ 的话，$\text{longest}(p)+c$ 是 $\text{longest}(q)$ 的一个后缀。也就是说，$q$ 包含的所有子串中，只有长度不大于 $\text{len}(p)+1$ 的这部分后缀出现次数又增加了 $1$。我们被迫把原来全部属于 $q$ 的子串分进两个不同的等价类里面。
新建一个节点 $nq$，表示从 $p$ 转移过来，出现次数增加了 $1$ 的这部分子串。虽然这部分被单独分出来了，但它的后续转移跟新加的 $c$ 并没有关系，可以从 $q$ 直接复制过来。
考虑被分出来的子串是 $q$ 中比较短的那一部分后缀，而且它们也是新串的后缀。故有 $\text{link}(q)=\text{link}(np)=nq$。
循环的作用是把原来连在 $q$ 的边都改到 $nq$ 上去。

至此，我们成功地构建了一个 SAM 。

正确性证明

upd: 来补个证明。

状态数

SAM 的状态数上界为 $2n-1$。

这可以从 SAM 的构建过程中直接看出：插入前两个字符时一定只会新建一个状态，而后面假设每次都需要新建状态，至多会建出 $2(n-1)$ 个。算上初始节点，总数为 $2n-1$。
该上界可以在字符串形如 $\mathtt{abbb...b}$ 时取到，因为它从第三个字符开始每加一个 $b$ 都会产生新的 $\text{endpos}$ 等价类。画出来大概长这样：

转移数

SAM 的转移数上界为 $3n-4$。

我们把满足 $\text{len}(q)=\text{len}(p)+1$ 的转移称作连续的，考虑这样的转移个数。观察代码，可以发现除初始状态以外的每个状态 $q$ 有且仅有一个 $p$ 满足 $p$ 到 $q$ 的转移连续。
那么连续的转移数上界为状态数上界减 $1$，即 $2n-2$。

接下来证明不连续的转移个数。设 $p$ 到 $q$ 的转移是不连续的，这条转移边上的字符是 $c$。
我们考虑找出经过这条转移边的最长字符串。设 $u$ 为从初始状态到 $p$ 的最长字符串，$v$ 为从 $q$ 到某个终止状态的最长字符串。根据最长的性质，$u$ 和 $v$ 上的转移都是连续的。这也就是说，经过每条不连续的转移边的最长字符串均不相同。
再考虑 $u+c+v$ 这个串的性质，根据 SAM 的定义，一条从 $t_0$ 出发走到某终止状态的路径唯一对应原串的一个后缀。那么 $u+c+v$ 是原串 $s$ 的后缀，且不能是完整的 $s$， 因为这样所有转移都应该连续。
故我们证明了不连续的转移至多有 $n-1$ 个。

但是 $(2n-2)+(n-1)$ 等于 $3n-3$，为什么多了一个呢？
这是因为两种转移数不可能同时取到上界。我们令连续的转移取上界，即状态数取上界时，字符串形如 $\mathtt{abbb...b}$。而此时根据上图不连续的转移数量显然取不到 $n-1$。因此我们得到更精确的上界为 $3n-4$，这可以在 $s=\mathtt{"abbb...bbc"}$ 时取到。它长成这样：

构建的时间复杂度

证明了状态与转移的数量，我们来证明 SAM 的构建过程也是线性。

代码里只有两句带循环，对它们依次进行分析。

for(;p&&!d[p].s[c];p=d[p].fa) d[p].s[c]=np;

这句的作用是新连一条转移边，根据转移数线性的结论，我们执行这个循环的次数是线性。

for(;p&&d[p].s[c]==q;p=d[p].fa) d[p].s[c]=nq;

首先我们知道：设 $f=\text{link}(nq)$，根据代码可以看出一定不会存在 $f\to nq$ 的不连续转移边。

考虑每次进行完该循环后的 fail 树。此时有 $\text{link}(lst)=nq$，同时由于 $\text{link}(nq)$ 是原来的 $\text{link}(q)$，而且原来的 $p$ 还是不连续转移，$\text{link}(nq)$ 不会是某个遍历到过的 $p$。那么下次再插入时，从 $lst$ 开始跳 $fail$ 树，必然不会把这些重定向过的边再重定向一遍。那么每个边最多被重定向了一次，为线性。

综上，构建 SAM 的总时间复杂度为线性。

基础应用

貌似 SAM 能做的事 SA 也差不多都能，所以合一起口胡一下做法。

判断字符串是否出现

• SAM
  把文本串的 SAM 建出来。根据任意一个子串都能被 SAM 上一条以 $t_0$ 为起点的路径表示的性质，从起点开始顺着模式串字符的转移边跑，能跑完整个模式串就是出现了。

• SA
  对文本串 $s$ 跑 SA，模式串如果出现就一定是 $s$ 的一个后缀的前缀，在排序后 $s$ 的所有后缀中逐位二分即可确定它所在的位置。

不同子串个数

• P4070 [SDOI2016] 生成魔咒

• SAM
  两种做法。
  从 SAM 上转移边的角度考虑，不同的子串个数即为从 $t_0$ 出发的不同路径数。设从点 $u$ 出发的路径数为 $f_u$，则有转移：$f_u=1+\sum\limits_{u\to v} f_v$，答案为 $f_{t_0}$。
  从后缀树的角度考虑，我们知道 $\text{minlen}(v)=\text{len}(\text{link}(v))+1$，则属于点 $v$ 的 $\text{endpos}$ 等价类的子串个数为 $\text{len}(v)-\text{len}(\text{link}(v))$。总个数为每个节点的答案之和。

• SA
  不同子串个数本质上求的是 $\frac{n(n+1)}{2}-\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=i+1}^n \min\{\text{height}_i,\text{height}_{i+1},\dots,\text{height}_{j}\}$。使用单调栈处理出 $i$ 左右首个比自己小的数的位置，即可统计贡献。似乎也可以从大到小填数，用并查集维护两边的 $size$？

字典序第 $k$ 大子串

• P3975 [TJOI2015] 弦论

• SAM
  预处理从每个点出发的路径数，那么可以快速地判断是否要走当前转移边。按字典序从小到大枚举转移边，直到确定第 $k$ 个子串包含在里面即可。
  如果本质不同的算成多个，就在处理 $f_u$ 时把同一个点包含的子串个数计入贡献。

• SA
  排序后从前往后枚举每个后缀，它对答案的贡献就是总长度去掉 $\text{height}$。
  对于本质不同算多个好像挺麻烦的，具体可以看 这篇博客。

子串出现次数

• P3804 【模板】后缀自动机（SAM）

• SAM
  找到该子串在 SAM 上对应的点，从这个点出发能走到的终止状态数就是子串出现的次数。这个东西可以在后缀树上 DP，注意求的不是从这个点出发的路径数。

• SA
  与判断字符串是否出现方法一致，使用二分找到以该子串作为前缀的 $sa$ 区间。

最长公共子串

• SP1811 LCS - Longest Common Substring

• SAM
  要求 $S$ 和 $T$ 的最长公共子串，我们先对 $S$ 构造 SAM，然后再对 $T$ 在 SAM 上进行匹配。具体地，对于 $T$ 的每个前缀，我们在 $S$ 上找最长的（$T$ 的这个前缀）的后缀。
  听起来很绕。换句话来讲：逐一往 $T$ 后面添加字符，维护当前 $T$ 的后缀在 $S$ 上最多匹配到哪里。我们维护两个变量 $now$ 和 $len$，表示当前 SAM 上匹配到的节点 & 匹配的字符串长度。
  考虑在 $T$ 末尾新加入字符 $c$ 对答案的影响。若 $now$ 有字符 $c$ 的转移边，则沿边转移，$len\leftarrow len+1$；否则不断跳 $\text{link}(now)$ 直到存在该转移边，并令 $len=\text{len}(now)$。在这个过程中记录 $len$ 的最大值即可。
  关于这里为什么令 $len=\text{len}(now)$ 是对的：如果实际匹配的长度大于 $\text{len}(now)$，那在上一次跳 $\text{link}$ 的时候就应该能转移。如果实际匹配的长度小于 $\text{len}(now)$，那加入 $c$ 之前，原来的 $now$ 和 $s$ 根本对不上，与上一轮已经匹配正确的前提矛盾。

• SA
  相比之下 SA 处理这个就很简单，把两个字符串接在一起，最长公共子串所属的后缀，排完序肯定挨在一起，所以满足 $sa_i$ 和 $sa_{i-1}$ 不属于同一个串的 $\text{height}$ 的最大值就是答案。

多个串的最长公共子串

• SP1812 LCS2 - Longest Common Substring II

• SAM
  看到两种主流做法。
  一种是 OI-wiki 说的把所有串并在一起跑 SAM，然后根据特殊字符判断。
  另外一种是对最短的子串建 SAM，并依次考虑其他串，在 SAM 上记录每个点的最大匹配长度的最小值。然后答案是（这些最小值）的最大值。（禁止套娃。

• SA
  把所有串并在一起跑 SA。二分最长公共子串的长度 $k$，对于每个 $\text{height}(i)\ge k$ 的连续段判断是不是在每个串中都出现过即可。

于是学个 SAM 板子学了一天，并且可以预见到未来的几天内我又会把它忘得一干二净。什么时候能变得有效率呢！

那就完结撒花吧 >w<