AtCoder Regular Contest 169 (ARC169)
怎么有人 ARC A 卡了半天的？
A. Please Sign
考虑 \(i\) 位置上的数，下次它被加到 \(P_i\)，再下次被加到 \(P_{P_i}\)，因为这个序列有性质 \(P_i<i\)，这样加若干轮一定会到达 \(1\)。
令所有的 \(i\) 向 \(P_i\) 连边，则这是一棵以 \(1\) 为根的树。
设 \(f_i=\sum\limits_{j=1}^n [dep_j=i] a_j\)。其中 \(dep_1=0\)。
那么 \(A_1=f_0\)，一次操作相当于令所有 \(f_i\gets f_i+f_{i+1}\)。
首先如果 \(f\) 数组全都是 \(0\)，\(A_1\) 操作很多次后显然还是 \(0\)。
考虑 \(f\) 最后一个不为 \(0\) 的位置的符号，设这个数为 \(f_x\)。若 \(f_x>0\)，由于每次令 \(f_{x-1}\gets f_{x-1}+f_x\)，\(f_{x-1}\) 一定会在若干次操作后变为正数。这可以类似地推广到 \(f_{x-2},f_{x-3},\dots\)。因此操作次数足够多时，有 \(f_0>0\)，即 \(A_1>0\)。
\(f_x<0\) 同理。综上，我们得到结论：\(A_1\) 最后的符号与 \(f\) 数组最后一个不为 \(0\) 的位置符号相同。
Code
#define int long long
const int N=2.5e5+5,inf=2e9;
int n,a[N],p[N],f[N],dep[N],mx;
vector<int> e[N];
void dfs(int u)
{
mx=max(mx,dep[u]);
for(auto v:e[u])
{
dep[v]=dep[u]+1;
dfs(v);
}
}
signed main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
for(int i=2;i<=n;i++) p[i]=read(),e[p[i]].push_back(i);
dfs(1);
for(int i=2;i<=n;i++) f[dep[i]]+=a[i];
int flag=0;
for(int i=n;i;i--)
if(f[i]) {flag=f[i]>0?1:-1;break;}
a[1]=flag*inf+a[1];
if(a[1]>0) cout<<"+";
else if(a[1]==0) cout<<"0";
else cout<<"-";
return 0;
}
B. Subsegments with Small Sums
先考虑一个确定的区间怎么求答案。
直接贪心，从左往右考虑这个序列，如果上一段能放下就放进上一段，否则新开一段。正确性比较显然。
那这个题就能做了：考虑左端点相同时每个右端点的答案，设这个和为 \(f_l\)。分为两种情况：
- 只有一段，对答案的贡献为 \(1\)；
- 有至少两段，但根据上面的贪心，它们第一段结束的位置均相同。设这个位置是 \(x\)。
那么 \(r\ge x\) 的区间可以看作 \([x,r]\) 的答案加 \(1\)，即有转移 \(f_l\gets f_x+(n-l+1)\)，答案为 \(ans=\sum\limits_{i=1}^n f_i\)。
找 \(x\) 的过程双指针或二分均可。
Code
#define int long long
const int N=2.5e5+5;
int n,s,sum[N],a[N];
int f[N];
signed main()
{
n=read(),s=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),sum[i]=sum[i-1]+a[i];
for(int i=n;i;i--)
{
int nxt=lower_bound(sum+1,sum+n+1,sum[i-1]+s+1)-sum;
f[i]=f[nxt]+(n-i+1);
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) ans+=f[i];
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
C. Not So Consecutive
读错题了，写了一车组合数还在想为什么过不去最后一个样例。
设 \(f_{i,j}\) 表示填了前 \(i\) 个位置，第 \(i\) 个位置填的是 \(j\) 的方案数。那么枚举这个连续段的起点，朴素转移有
这样直接做是 \(\mathcal{O}(n^4)\) 的，考虑优化。
首先方括号里那一串式子本质上是找 \(i\) 前面最后一个填了不为 \(j\) 的数的位置，设这个位置为 \(lst\)。
对每个数维护 \(pos_j\) 表示数 \(j\) 当前最后一次出现的位置。那么对于每个新的 \(i\)，我们记录 \(pos\) 的最大值和次大值即可。
这个过程对每个 \(i\) 可以 \(\mathcal{O}(n)\) 完成。式子变成了
再把 \(col\neq j\) 这个条件容斥掉，有
设 \(S_i=\sum\limits_{j=1}^i \sum\limits_{col=1}^n f_{i,col}\)，\(s_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^i f_{k,j}\)，前缀和优化即可。时间复杂度 \(\mathcal{O}(n^2)\)。
Code
#define int long long
const int N=5005,mod=998244353;
int pos[N],f[N][N],s[N][N],sum[N],n,a[N];
signed main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
f[0][0]=1,sum[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(a[i]!=-1) pos[a[i]]=i;
int mx1=0,mx2=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(pos[j]>mx1) mx2=mx1,mx1=pos[j];
else if(pos[j]>mx2) mx2=pos[j];
}
for(int j=1;j<=n;j++)
{
int lst=max(i-j,(a[mx1]==j)?mx2:mx1);
f[i][j]=sum[i-1]-(lst?sum[lst-1]:0)-(s[i-1][j]-(lst?s[lst-1][j]:0));
f[i][j]=(f[i][j]%mod+mod)%mod;
s[i][j]=(s[i-1][j]+f[i][j])%mod;
(sum[i]+=f[i][j])%=mod;
}
(sum[i]+=sum[i-1])%=mod;
}
cout<<(sum[n]-sum[n-1]+mod)%mod<<endl;
return 0;
}
D. Add to Make a Permutation
设序列 \(A\) 操作得到未被取模的最终序列 \(B\)，那么 \(B\) 应当满足如下条件：
- \(B_i\ge A_i\)；
- \(B_i\bmod N\) 两两不同；
- 令 \(S=\sum\limits_{i=1}^n (B_i-A_i)\)，有 \(S\bmod M=0\)；
- \(\max\{B_i-A_i\}\le \frac{S}{M}\)。
考虑第三个条件，在一定的操作次数下 \(\max\{B_i-A_i\}\) 越小越容易满足条件。将 \(A\) 序列升序排序，最优的对应关系一定是将 \(B\) 也升序排序。
发现答案只和 \(S\) 的值有关，有结论：若有解，一定存在一种最优方案形如 \(B=(x,x+1,\cdots ,x+N)\)。
使用调整法证明。假设我们有一个最优的 \(B\) 序列，且 \(B_N-B_1>N\)。那么令 \(B_1\gets B_N-N,B_N\gets B_1+N\)，依次对照上文的所有条件：
- 首先因为 \(B_N-N>B_1\)，新的 \(B_1\) 比原来大。同时因为 \(B_1>A_1,A_N-A_1<N\)，有 \(B_1+N>A_N\)，满足条件 1。
- 加减 \(N\) 不改变取模后的值。
- 总和没变，\(S\) 不变。
- \(B_N-A_N\) 一定变小。前者有 \(B_N-A_N>B_N-N-A_1\)，所以也变小，满足条件。
综上，这样调整后得到的新序列仍合法。
那么我们只需考虑最小化 \(x\) 的值。
根据第一个条件可以得到 \(x\) 的下界。第四个条件 \(x\) 每增加 \(1\)，不等式左侧增加 \(1\)，右侧增加 \(\frac{N}{M}\)。因为 \(N>M\)，第四个条件也为 \(x\) 提供了下界。
接下来令 \(x\) 满足第三个条件即可，发现 \(x\) 和 \(x+N\) 是等价的，\(x\) 可以直接枚举 \(N\) 次。
时间复杂度是 \(\mathcal{O}(n)\)。
Code
#define int long long
const int N=2.5e5+5;
int n,m,a[N],sum,x;
signed main()
{
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
sort(a+1,a+n+1);
for(int i=1;i<=n;i++) x=max(x,a[i]-i+1);
for(int i=1;i<=n;i++) sum+=(x+i-1)-a[i];
bool flag=0;
for(int i=0;i<=n;i++) if((sum+n*i)%m==0) {x+=i,sum+=n*i,flag=1;break;}
if(!flag) {printf("-1\n");return 0;}
int mx=0;
for(int i=1;i<=n;i++) mx=max(mx,x+i-1-a[i]);
while(mx>sum/m) mx+=m/__gcd(n,m),sum+=n*m/__gcd(n,m);
printf("%lld\n",sum/m);
return 0;
}
E. Avoid Boring Matches
\(\texttt{R}\) 比 \(\texttt{B}\) 多一定无解，否则可以换成 \(\texttt{BBBB...RRR}\) 的形式，一定有解。
先找判断序列合法的充要条件。
考虑每轮的最优匹配策略是什么样的，我们希望更多的 \(\texttt{B}\) 能留到下一轮，因此要尽可能地让 \(\texttt{B}\) 和它后面的 \(\texttt{R}\) 配对。在多种配对方案能保留的 \(\texttt{B}\) 数量相同时，我们希望留下的 \(\texttt{B}\) 位置尽可能靠前，因为这样在下下轮它们被保留下来的概率更大。
因此我们得到这样的贪心策略：从左到右考虑每个 \(\texttt{B}\)，将它和右边第一个未被配对的 \(\texttt{R}\) 配对。最终将所有剩下未配对的数两两配对。根据上文可以知道这样做是最优的。
设 \(t_i\) 表示长度为 \(2^i\)，且所有 \(\texttt{B}\) 尽可能靠右的合法解。
令 \(t_0=\texttt{R}\)。
考虑怎么从 \(t_{i-1}\) 得到 \(t_i\)。从左到右处理 \(t_{i-1}\) 的每一位，若当前位是 \(\texttt{R}\)，表示这位没被匹配，\(t_i=t_i+\texttt{R}\)（\(+\) 表示字符串拼接）；当前位是 \(\texttt{B}\)，我们希望下一个 \(\texttt{B}\) 尽量靠后，即与之匹配的 \(\texttt{R}\) 尽量更近，\(t_i=t_i+\texttt{BR}\)。不足 \(2^i\) 位用 \(\texttt{B}\) 补齐。
设 \(t_n\) 的第 \(j\) 个 \(\texttt{B}\) 的位置为 \(T_j\)，原序列位置为 \(S_j\)。那么若存在 \(S_j>T_j\)，则该序列不合法。证明大概是如果一个 \(S_j<T_j\)，匹配数不会变多；但如果 \(S_j>T_j\)，\(\texttt{BR}\) 的匹配数一定减少。
答案是令 \(S\) 满足上述条件的最小操作次数，即 \(\sum\limits_{j=1}^{2^n} \max(0,T_j-S_j)\)。时间复杂度 \(\mathcal{O}(2^n)\)。
Code
const int N=(1<<18)+5;
int n;
string s,t[N];
int tot,pos[N];
int main()
{
n=read(); cin>>s;
t[0]="R";
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(auto c:t[i-1])
if(c=='R') t[i]+="R";
else t[i]+="BR";
while(t[i].size()<(1<<i)) t[i]+="B";
}
for(int i=0;i<(1<<n);i++) if(t[n][i]=='B') pos[++tot]=i;
tot=0; long long ans=0;
for(int i=0;i<(1<<n);i++) if(s[i]=='B')
{
tot++;
if(i>pos[tot]) ans+=i-pos[tot];
if(tot==(1<<n-1)) break;
}
if(tot<(1<<n-1)) printf("-1\n");
else printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
F. Large DP Table
貌似不会。
本文来自博客园，作者：樱雪喵，转载请注明原文链接：https://www.cnblogs.com/ying-xue/p/arc169.html
