Atcoder Beginner Contest 326 (ABC326)

不知道为什么拖到现在，我是摆怪。

A. 2UP3DOWN

模拟，略。

B. 326-like Numbers

模拟，略。

C. Peak

双指针板子。

D. ABC Puzzle

基础 dfs。
但是赛时不知道为什么觉得状态数不会很少，于是写了一个巨大复杂的状压。这里粗略算算有效状态数：
仅考虑每行的限制，有 $\binom{5}{3}=10$ 种选择填数位置的方法。又因为第一个数填什么是固定的，选定位置后只有 $2$ 种不同填法。那么每行的有效状态数为 $20$。
也就是说总的状态数最多只有 $20^5$，当然这里没有考虑列的限制，实际上合法状态远比这个少。所以直接 dfs 是能过的。

E. Revenge of "The Salary of AtCoder Inc."

设 $f_i$ 表示游戏能进行到 $x=i$ 的概率，则答案是 $\sum a_i f_i$。
观察到 $x$ 在游戏过程中单调递增，则有转移 $f_i=\frac{1}{n} \sum\limits_{j=1}^{i-1} f_j$。

F. Robot Rotation

Description

有一个机器人位于坐标系原点 $(0,0)$，面向 $x$ 轴正方向。
在每一秒开始前，你可以选择让这个机器人向左或向右旋转 $90$ 度，不可以不转。接下来，机器人沿它面对的方向前进 $a_i$ 个单位距离，$i$ 为当前秒数。
给定总时间 $N$，序列 $a$ 和机器人最终的位置 $(X,Y)$。请构造一个合法的操作序列（用 L 和 R 表示每步操作的方向），或判断无解。

$N\le 80,\,a_i\le 10^7,\,-10^9\le X,Y\le 10^9$。

Solution

因为不能不转弯，可以发现机器人一定是横竖交替行走的。进一步观察，发现奇数秒机器人只改变 $y$ 坐标，否则只改变 $x$ 坐标。
那么 $x,y$ 坐标是互不影响的，这启发我们把横纵坐标分开考虑。这里以横坐标为例，设序列 $a$ 的所有偶数位组成序列 $b$。
问题转化为给一个序列 $b$，可以自由选择每个 $b_i$ 的正负号，问是否存在方案使 $X=\sum b_i$。
这看起来像是值域极大的 01 背包，显然不太可做。从数据范围的角度考虑问题，$b$ 的长度至多只有 $40$。
考虑将序列 $b$ 拆成前后两部分，则每一半只有 $20$ 个数，对应着 $2^{20}$ 种状态。我们求出前一半的所有状态存进 map，在枚举后一半状态为 $x$ 时判断 $X-x$ 是否在 map 中存在即可。
时间复杂度 $O(\frac{n}{4}\times 2^{\frac{n}{4}})$。

G. Unlock Achievement

完全没想到网络流（

Description

有 $n$ 个技能，$m$ 个成就。每个技能有一个等级，初始均为 $1$。
你可以用 $c_i$ 块钱令技能 $i$ 提升一个等级，该操作没有次数限制。
第 $i$ 个成就达成的条件是对于 $\forall j\in [1,n],level_j \ge L_{i,j}$，其中 $level_j$ 表示第 $j$ 个技能的等级。达成成就 $i$ 后，你会获得 $a_i$ 元的奖励。注意这里奖励与成本是分开的，也就是说你不能用奖励的钱去提升等级。
请最大化获得的奖励与所需成本之差，并输出该值。

$n,m\le 50,\, 1\le L_{i,j}\le 5,\, 1\le a_i,c_i\le 10^6$。

Solution

考虑构造最小割模型。

因为 $L_{i,j}\le 5$，把点 $i$ 拆成 $6$ 个点，分别为 $id_{i,j}(j\in [1,6])$。令成就 $i$ 为点 $bel_i$。则进行如下的建图：

• 连接源点 $s$ 与 $id_{i,6}$，容量为 $\inf$。
• 连接 $id_{i,j+1}$ 与 $id_{i,j}$，容量为 $c_i\times (j-1)$，割掉这条边则表示将技能 $i$ 升级到 $j$。
• 连接 $id_{i,L_{j,i}}$ 与 $bel_j$，容量为 $\inf$。
• 连接 $bel_i$ 与 $t$，容量为 $a_i$。如果这条边被割掉，说明至少有一个技能的等级未达到该奖励的条件，不能获得奖励。

那么这个图的最小割就是成本与未获得的奖励之差，用总奖励减去最小割即为答案。