Atcoder Beginner Contest 326 (ABC326)

不知道为什么拖到现在，我是摆怪。

A. 2UP3DOWN

模拟，略。

B. 326-like Numbers

模拟，略。

C. Peak

双指针板子。

D. ABC Puzzle

基础 dfs。
但是赛时不知道为什么觉得状态数不会很少，于是写了一个巨大复杂的状压。这里粗略算算有效状态数：
仅考虑每行的限制，有 \(\binom{5}{3}=10\) 种选择填数位置的方法。又因为第一个数填什么是固定的，选定位置后只有 \(2\) 种不同填法。那么每行的有效状态数为 \(20\)。
也就是说总的状态数最多只有 \(20^5\)，当然这里没有考虑列的限制，实际上合法状态远比这个少。所以直接 dfs 是能过的。

E. Revenge of "The Salary of AtCoder Inc."

设 \(f_i\) 表示游戏能进行到 \(x=i\) 的概率，则答案是 \(\sum a_i f_i\)。
观察到 \(x\) 在游戏过程中单调递增，则有转移 \(f_i=\frac{1}{n} \sum\limits_{j=1}^{i-1} f_j\)。

F. Robot Rotation

Description

有一个机器人位于坐标系原点 \((0,0)\)，面向 \(x\) 轴正方向。
在每一秒开始前，你可以选择让这个机器人向左或向右旋转 \(90\) 度，不可以不转。接下来，机器人沿它面对的方向前进 \(a_i\) 个单位距离，\(i\) 为当前秒数。
给定总时间 \(N\)，序列 \(a\) 和机器人最终的位置 \((X,Y)\)。请构造一个合法的操作序列（用 L 和 R 表示每步操作的方向），或判断无解。

\(N\le 80,\,a_i\le 10^7,\,-10^9\le X,Y\le 10^9\)。

Solution

因为不能不转弯，可以发现机器人一定是横竖交替行走的。进一步观察，发现奇数秒机器人只改变 \(y\) 坐标，否则只改变 \(x\) 坐标。
那么 \(x,y\) 坐标是互不影响的，这启发我们把横纵坐标分开考虑。这里以横坐标为例，设序列 \(a\) 的所有偶数位组成序列 \(b\)。
问题转化为给一个序列 \(b\)，可以自由选择每个 \(b_i\) 的正负号，问是否存在方案使 \(X=\sum b_i\)。
这看起来像是值域极大的 01 背包，显然不太可做。从数据范围的角度考虑问题，\(b\) 的长度至多只有 \(40\)。
考虑将序列 \(b\) 拆成前后两部分，则每一半只有 \(20\) 个数，对应着 \(2^{20}\) 种状态。我们求出前一半的所有状态存进 map，在枚举后一半状态为 \(x\) 时判断 \(X-x\) 是否在 map 中存在即可。
时间复杂度 \(O(\frac{n}{4}\times 2^{\frac{n}{4}})\)。

G. Unlock Achievement

完全没想到网络流（

Description

有 \(n\) 个技能，\(m\) 个成就。每个技能有一个等级，初始均为 \(1\)。
你可以用 \(c_i\) 块钱令技能 \(i\) 提升一个等级，该操作没有次数限制。
第 \(i\) 个成就达成的条件是对于 $\forall j\in [1,n],level_j \ge L_{i,j} $，其中 \(level_j\) 表示第 \(j\) 个技能的等级。达成成就 \(i\) 后，你会获得 \(a_i\) 元的奖励。注意这里奖励与成本是分开的，也就是说你不能用奖励的钱去提升等级。
请最大化获得的奖励与所需成本之差，并输出该值。

\(n,m\le 50,\, 1\le L_{i,j}\le 5,\, 1\le a_i,c_i\le 10^6\)。

Solution

考虑构造最小割模型。

因为 \(L_{i,j}\le 5\)，把点 \(i\) 拆成 \(6\) 个点，分别为 \(id_{i,j}(j\in [1,6])\)。令成就 \(i\) 为点 \(bel_i\)。则进行如下的建图：

• 连接源点 \(s\) 与 \(id_{i,6}\)，容量为 \(\inf\)。
• 连接 \(id_{i,j+1}\) 与 \(id_{i,j}\)，容量为 \(c_i\times (j-1)\)，割掉这条边则表示将技能 \(i\) 升级到 \(j\)。
• 连接 \(id_{i,L_{j,i}}\) 与 \(bel_j\)，容量为 \(\inf\)。
• 连接 \(bel_i\) 与 \(t\)，容量为 \(a_i\)。如果这条边被割掉，说明至少有一个技能的等级未达到该奖励的条件，不能获得奖励。

那么这个图的最小割就是成本与未获得的奖励之差，用总奖励减去最小割即为答案。