FWT & FMT（位运算卷积）学习笔记

它们两个的全名叫 快速沃尔什变换(FWT) 和 快速莫比乌斯变换(FMT)，用来在 $O(n\log n)$ 时间复杂度内求位运算卷积。
因为 FMT 能解决的问题是 FWT 的子集，所以这里不讲 FMT，把它拎出来是想说它们两个的区别。

参考资料：偶耶XJX-浅谈快速沃尔什变换(FWT)&快速莫比乌斯变换(FMT)、zcxxn-多项式学习笔记。

位运算卷积

位运算卷积，就是求下面这个问题：
给定长度为 $n$ 的序列 $A,B$，求它们的卷积 $C_i=\sum\limits_{j\oplus k=i} A_j\times B_k$，其中 $\oplus$ 为 $\text{and,or,xor}$ 中的一种。这里如果把 $\oplus$ 换成加号就是多项式乘法。

Or

我们要求 $C_i=\sum\limits_{j|k=i} A_j\times B_k$。这个柿子长得和多项式乘法差不多，所以试图仿照 FFT 的思路对序列变换进行构造。
令 $\text{fwt}_i(A)=\sum\limits_{j|i=i} A_j$。考虑这样构造有什么性质：

$$\begin{aligned} \text{fwt}_i(A)\text{fwt}_i(B) &=(\sum_{j|i=i} A_j)(\sum_{k|i=i} B_k)\\ &=\sum_{j|i=i}\sum_{k|i=k} A_j B_k\\ &=\sum_{(j|k)|i=i} A_j B_k \end{aligned}$$

继续推 $\text{fwt}(C)$：

$$\begin{aligned} \text{fwt}_i(C)&=\sum_{j|i=i} C_j\\ &=\sum_{j|i=i}\sum_{x|y=j} A_x B_y\\ &=\sum_{(x|y)|i=i} A_x B_y\\ \end{aligned}$$

那么有：

$$\text{fwt}_i(C)=\text{fwt}_i(A)\text{fwt}_i(B)$$

这很好，只需要知道怎么转化 $A$ 和 $\text{fwt}(A)$ 就解决问题了。

$A\to \text{fwt}(A)$

肯定不能按定义式求，这样搞是 $n^2$ 的。

考虑根据下标二进制下最高位的值是 $0/1$ 对 $A$ 序列分治。我们定义最高位为 $0$ 的序列叫 $A_0$，另一半叫 $A_1$。

那么，$\text{fwt}(A)$ 的前半部分，$j$ 和 $k$ 的最高位也都只能取 $0$，即 $\text{fwt}(A_0)$；后半部分，$j$ 和 $k$ 的最高位没有限制，所以即 $\text{fwt}(A_0)+\text{fwt}(A_1)$。

令 $\text{merge}(a,b)$ 表示把 $a$ 和 $b$ 序列前后拼接在一起，则有：

$$\text{fwt}(A)=\text{merge}(\text{fwt}(A_0),\text{fwt}(A_0)+\text{fwt}(A_1))$$

递归即可。当然更常见的写法是直接循环迭代。

$\text{fwt}(A)\to A$

把变换反过来，思路是差不多的：

我们这次把 $\text{fwt}(A)$ 序列按二进制最高位分为 $\text{fwt}(A_0)$ 和 $\text{fwt}(A_1)$。

同理地，$A$ 的前半部分只由 $\text{fwt}(A_0)$ 得到，而后半部分的 $\text{fwt}(A_1)$ 里面两种都有，去掉 $0$ 开头的就是 $\text{fwt}(A_1)-\text{fwt}(A_0)$。

那么有反演式（这里似乎也有的博客叫 $\text{ufwt}$）：

$$\text{Ifwt}(A)=\text{merge}(\text{Ifwt}(A_0),\text{Ifwt}(A_1)-\text{Ifwt}(A_0))$$

代码实现时可以合并这两个过程。

void Or(int *a,int tp)
{
    for(int len=1;len<(1<<n);len<<=1)
        for(int i=0;i<(1<<n);i+=(len<<1))
            for(int j=0;j<len;j++) add(a[i+j+len],a[i+j]*tp);
}

And

和 Or 卷积本质相同，因此这里直接给出结论，读者可以自行证明。

$$\text{fwt}(A)=\text{merge}(\text{fwt}(A_0)+\text{fwt}(A_1),\text{fwt}(A_0))$$

$$\text{Ifwt}(A)=\text{merge}(\text{Ifwt}(A_1)-\text{Ifwt}(A_0),\text{Ifwt}(A_0))$$

void And(int *a,int tp)
{
    for(int len=1;len<(1<<n);len<<=1)
        for(int i=0;i<(1<<n);i+=(len<<1))
            for(int j=0;j<len;j++) add(a[i+j],a[i+j+len]*tp);
}

FMT

插播一条 FMT！

不少博客说做 And 和 Or 卷积的 FWT 就是 FMT，这句话的正确性有待考据。

实际上，FMT 和 FWT 在前面构造的部分都是一样的，区别在于转化 $A\to \text{fwt}(A)$ 的方式不同。已经知道，FWT 是基于分治加速运算，而 FMT 则是基于 DP 对这一步进行的加速。代码难度上也没有太大差别，具体是怎么加速的这里不讲了 qaq。

Xor

Xor 卷积就只能用 FWT 做了，而且也是最难理解的部分。

设 $d(x)$ 表示 $x$ 在二进制下 $1$ 的个数。对 FWT 函数做如下定义：

$$\text{fwt}_i(A)=\sum_j (-1)^{d(i\&j)} A_j$$

换句话讲，改变 $d$ 的定义，令 $d(x)$ 表示 $1$ 的个数的奇偶性，偶为 $0$，奇为 $1$。那么这个式子可以写成：

$$\text{fwt}_i(A)=\sum_{d(i\&j)=0} A_j-\sum_{d(i\&j)=1} A_j$$

所以根据 $(i\text{ and }k)\text{ xor }(j\text{ and }k)=(i\text{ xor }j)\text{ and }k$，有：

$$\begin{aligned} \text{fwt}_i(A)\text{fwt}_i(B)&=(\sum_{d(i\&j)=0} A_j-\sum_{d(i\&j)=1} A_j)(\sum_{d(i\&k)=0} B_k-\sum_{d(i\&k)=1} B_k)\\ &=\sum_{d(i\&j)\text{ xor }d(i\&k)=0}A_j B_k-\sum_{d(i\&j)\text{ xor }d(i\&k)=0}A_j B_k\\ &=\sum_{d(i\&(j\text{ xor }k))=0}A_j B_k-\sum_{d(i\&(j\text{ xor }k))=1}A_j B_k\\ &=\text{fwt}_i(C) \end{aligned}$$

同样基于分治思想构造 $A\to \text{fwt}(A)$ 的转移。这个东西实在过于抽象，感性理解，理解不了就记下来（

$$\text{fwt}(A)=\text{merge}(\text{fwt}(A_0)+\text{fwt}(A_1),\text{fwt}(A_0)-\text{fwt}(A_1))$$

$$\text{Ifwt}(A)=\text{merge}\left(\frac{\text{Ifwt}(A_0)+\text{Ifwt}(A_1)}{2},\frac{\text{Ifwt}(A_0)-\text{Ifwt}(A_1)}{2}\right)$$

代码长得有点像 FFT。

void Xor(int *a,int tp)
{
    for(int len=1;len<(1<<n);len<<=1)
        for(int i=0;i<(1<<n);i+=(len<<1))
            for(int j=0;j<len;j++)
            {
                int x=a[i+j],y=a[i+j+len];
                a[i+j]=(x+y)*tp%mod,a[i+j+len]=(x-y+mod)%mod*tp%mod;
            }
}

一些神秘优化

Fan facts：len 可以倒过来枚举，不影响答案。
据说会变快，但试了下好像并没有什么效果，不知道是不是我的问题。

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于是这篇昨天晚上就说要写的博客咕到了现在。我是摆怪猫猫！