DP 杂题选做

部分详见：
概率期望 DP 学习笔记
树形 DP 学习笔记

其余题就不具体分类了。

P1220 关路灯

题解说这是区间 DP 经典题，但我以前居然没听说过，这下尴尬了。
设 $f_{i,j,0/1}$ 表示关掉区间 $[i,j]$ 所有灯，人在点 $i/j$ 消耗的最少功率。
那么

$$f_{i,j,0}=\min(f_{i+1,j,0}+dis_{i,i+1}\times (sum-s_{i+1,j}),f_{i+1,j,1}+dis_{i,j}\times (sum-s_{i+1,j}))$$

$$f_{i,j,1}=\min(f_{i,j-1,1}+dis_{j-1,j}\times (sum-s_{i,j-1}),f_{i,j-1,0}+dis_{i,j}\times (sum-s_{i,j-1}))$$

P2466 [SDOI2008] Sue 的小球

做完上面那题这题就很好办了。
这题满足关系式 $y=s_0-vt$，把功率换成速度，那这题就是求最小的价值乘移动距离的值。
于是就做完了（？

P2501 [HAOI2006]数字序列

第一问正难则反。考虑 $i,j$ 均被保留，则需满足 $j-i\ge a_j-a_i$。移项，得 $j-a_j\ge i-a_i$。设 $b_i=a_i-i$，那么 $b_i\le b_j(i<j)$。
即最长不下降子序列。
第二问根据贪心调整，必然可以使要调整的区间 $[l,r]$ 最后左边一部分与 $b_{l-1}$ 连续，右边一部分与 $b_{r+1}$ 连续。
感性证明一下：对于一个夹在两边之间的区间，设需要向上调整的点数为 $cntup$，向下的为 $cntdw$。那么如果 $cntup>cntdw$，把它向左边对齐显然是更优的；否则向右边对齐一定不劣。
保证数据随机，那么枚举每个 $f_i=f_j+1$ 的点 $j$ (要判合法），并从 $j$ 到 $i$ 枚举 $k$，那它的复杂度不知道。O(能过)?

插播一条：

$O(n \log n)$ 求最长不下降子序列

为啥我不会这个啊（雾
维护数组 $d_i$ 表示满足 $f_x=i$ 且 $b_i$ 最小的 $x$。
新加入一个 $x$ 时，若 $b_x>=b_{d_cnt}$，直接把 $x$ 插到 $d$ 最后面。
否则根据 $d$ 数组的单调性，二分找到第一个 $b_{d_i}>b_x$ 把 $x$ 放到 $i$ 的位置上。
哦好像 $d$ 数组直接存值比存下标简单。算了不管了（

P5289 [十二省联考 2019] 皮配

什么神仙题啊。虽然好像确实只考了背包。 啥时候会了啥时候填坑吧/youl

P4363 [九省联考 2018] 一双木棋 chess

轮廓线 DP。设轮廓线上横线为 $1$，竖线为 $0$。那么一个状态就可以用长度为 $2n$ 的二进制数表示。
至于转移，记搜时记录当前操作者并倒着转移即可。为啥一个 dfs 调 1.5h 啊。啥时候能学会 dfs 啊/kk

P4516 [JSOI2018] 潜入行动

无比熟悉。
终究没逃过写这个代码的命运。
注意循环的上下界，否则复杂度很容易写假。

P2605 [ZJOI2010]基站选址

线段树优化 dp。水黑好评ww
朴素 dp 设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个村庄，建了 $j$ 个通讯站时 $[1,i]$ 的最少费用。显然可以把第二维滚掉，变成 $f_i=\min\{f_j+s_{j+1,i-1}\}+c_i$。
然后考虑点对答案的贡献，设 $L_i,R_i$ 表示能覆盖点 $i$ 最左/最右的位置。那么当循环到 $R_i$ 时，$i$ 对 $[1,L[i])$ 均有 $w_i$ 的贡献。
那么用线段树维护 $\min\{f_j+s_{j+1,i-1}\}$，支持区间加法。每次循环到下个 $k$ 时，重构整棵线段树。

CF908G New Year and Original Order

盲猜一波一会讲题会匹配到这题（
upd: 真的匹配到了
直接暴力数位 dp 的复杂度是 $O(700^3\times 10)$，显然过不去。
因为把数按照每个数位排序，那么任何一个排序后的数可以表示成一堆 $11...111$ 相加的形式。
比如把 $124$ 拆开就是 $111+11+1+1$。
观察到数 $i$ 对答案的贡献只与 有几个数大于等于 i 有关。
故设 $f_{i,j,0/1}$ 表示填了前 $i$ 位，有 $j$ 个数大于等于当前的 $x$，最高位是否有限制。
从 1 到 9 枚举 $x$ 分别数位 dp 统计贡献即可。