树上问题学习笔记

前言：这篇博客是 yx NOIP 前恶补知识点写的，并没有普通树形 DP 捏/wq
upd：NOIP 没了，现在这里有普通树形 DP 了（

换根 DP

gg 押 NOIP 会考换根 DP，发现自己还没学过/jk
害怕.jpg

或许按本人感受的难度顺序排序（？

P3478 [POI2008] STA-Station

当根从 \(u\) 换到 \(v\) 时，\(v\) 的子树内所有节点深度 \(-1\)，除此以外每个节点深度 \(+1\)。则转移方程为 \(f_v=f_u-siz_v+(n-siz_v)\)。

CF1187E Tree Painting

如果已知第一个选的点作为根节点，则最优选法肯定是从上往下依次选（好像也只能这样选（？）那这样选点 \(u\) 的得分就是 \(siz_u\)，最后的答案是 \(\sum\limits_{i\neq rt} siz_i\)。
于是就会发现换根的转移式子和上面那题是一样的。就做完了。

P2986 [USACO10MAR] Great Cow Gathering G

依旧同理，把 \(siz\) 换成子树内 \(c_i\) 的和，转移柿子乘上边权 \(w\) 即可。

P3047 [USACO12FEB]Nearby Cows G

诈骗题。看到题想了半天怎么快速维护区间加减，然后发现自己眼瞎没看见 \(k\le 20\)...
设 \(f_{i,j}\) 表示以点 \(i\) 为根的子树里到 \(i\) 距离为 \(j\) 的所有点的权值和。
然后这东西 O(nk) 暴力转移就完了...
递归完要把修改过的值还原回来。

CF708C Centroids

终于有一道不一样的了
p.s.这题坑死我了。
先考虑已知根节点怎么判断合法性，那么就找到最大的子树，在这个子树里面找一个 \(x\) 使 \(siz_u-siz_x\le \frac{n}{2}\) 且 \(siz_x\le \frac{n}{2}\)。
容易想到对于每个节点维护：\(siz_x\) 子树大小，\(son_x\) 最大子树编号，\(f_x\) 以 \(x\) 为根的子树内不大于 \(\frac{n}{2}\) 的最大子树大小（不包括 \(f_x\)）。
然后你会发现这样没法 O(n) 换根 dp，因为当从 \(u\) 换到 \(v\) 且 \(v\) 正好是 \(f_u\) 那个节点的时候就寄了。
然而本喵并没有意识到，并且在这种情况下暴力枚举 \(u\) 的所有儿子来重新求 \(f_u\) 甚至还以为它是 O(n)，被菊花图成功卡 TLE/qd
于是思考并调了 1h 的代码白写了/fn
看了题解发现我们还要维护 \(f_x\) 的次大值，并保证不是从同一个儿子转移过来。
这样上面那种情况就能直接取次大值来保证复杂度。
好麻烦/kk

P6419 [COCI2014-2015#1] Kamp

顺着上一题思路想出来了，但是要维护的东西好多啊/kk
肯定是需要一个 \(cnt_x\) 来判断子树内有无关键点的。（没有就不用往里走了）
首先思考怎么走是最优的方式。假设送完最后一个人要返回出发点的话，设 \(f_x\) 为从点 \(x\) 出发走完所有关键点再回到 \(x\) 的最短路程。这个还是比较好求的，不详细写了（？
题意和上面 \(f_x\) 的区别就在最后一个人送完不用回去。那肯定挑距离 \(x\) 最远的人当最后一个，因此要维护 \(dis_{x,1/2}\) 表示到 \(x\) 子树内关键点到 \(x\) 距离的最大/次大值。
然后因为距离一样的时候没法判断是不是同一个点，还要一起维护 \(g_{x,1/2}\) 表示距离最值相对应的点的编号。
代码实现巨大多分讨，记得随时判断 \(cnt\) 是不是 \(0\) 以及 \(dis_{u,1}\) 是不是在子树 \(v\) 里。

其实还有两题要写的，但是摆了。记得抓我回来填坑。

树上背包

发现这个也不会。枯。希望现学来得及吧。

P2014 [CTSC1997] 选课

虽然以前写过，但似乎是没咋看懂式子稀里糊涂敲上去的（？
啊啊啊以前好多这种稀里糊涂照着题解思路/老师代码贺上去的题，每当提起我都记得做过，每当考到就发现不会，深受其害/ll

这题是个森林，则对每棵树的根节点向 \(0\) 连边，使之变成一棵树。
设 \(f_{i,j,k}\) 表示子树 \(i\) 的前 \(j\) 个儿子，已经选了 \(k\) 门课的最大值。注意：必须选点 \(i\)
那么 \(f_{now,tot,j}=\max(f_{now,tot,j},f_{now,tot-1,j-k}+f_{v,mxtot,k})\)。同样注意 \(k\) 只能循环到 \(j-1\)。
类似背包进行滚动数组优化。（似乎滚动了反而更好写（？）
也不知道自己到底会没会/kk

P4516 [JSOI2018] 潜入行动

题面看起来还挺套路，但我不会，树形 dp 是真忘光了啊啊啊啊啊怎么办
式子好长不想写...算了口胡一下吧。
设 \(dp[u][j][0/1][0/1]\) 表示子树 \(u\) 里放了 \(j\) 个，点 \(u\) 放了/没放，是否已经被监听。
于是滚动数组一下推出长下面这样的转移柿子\(\downarrow\)

\(\begin{cases}dp[x][i+j][0][0]=\sum dp[x][i][0][0]\times dp[v][j][0][1]\\dp[x][i+j][1][0]=\sum dp[x][i][1][0]\times (dp[v][j][0][0]+dp[v][j][0][1])\\dp[x][i+j][0][1]=\sum (dp[x][i][0][1]\times (dp[v][j][0][1]+dp[v][j][1][1])+dp[x][i][0][0]\times dp[v][j][1][1])\\dp[x][i+j][1][1]=\sum (dp[x][i][1][0]\times (dp[v][j][1][0]+dp[v][j][1][1])+dp[x][i][1][1]\times (dp[v][j][0][0]+dp[v][j][0][1]+dp[v][j][1][0]+dp[v][j][1][1]))\end{cases}\)

卡 long long 空间，要强制类型转换。
我不管，我胡了就是我写了！（确信

不知道啥题

OI wiki 为什么给我推黑题啊，不会/kk
所以写到这吧awa

树形 DP

范学长讲树上问题，顺路回来更新一波。

CF822F Madness

贪心题。胡了篇 lg 题解。

P2607 [ZJOI2008] 骑士

基环树上的 dp。第一次做这种题（？
对于每个基环树，dfs 找到环的那条边，对于这条边分别钦定 \(u\) 不选/\(v\) 不选，分别 dp 即可。
转移显然。
实现的时候写麻烦了，直接并查集判环就可以，不用 dfs。