树上问题学习笔记

前言：这篇博客是 yx NOIP 前恶补知识点写的，并没有普通树形 DP 捏/wq
upd：NOIP 没了，现在这里有普通树形 DP 了（

换根 DP

gg 押 NOIP 会考换根 DP，发现自己还没学过/jk
害怕.jpg

或许按本人感受的难度顺序排序（？

P3478 [POI2008] STA-Station

当根从 $u$ 换到 $v$ 时，$v$ 的子树内所有节点深度 $-1$，除此以外每个节点深度 $+1$。则转移方程为 $f_v=f_u-siz_v+(n-siz_v)$。

CF1187E Tree Painting

如果已知第一个选的点作为根节点，则最优选法肯定是从上往下依次选（好像也只能这样选（？）那这样选点 $u$ 的得分就是 $siz_u$，最后的答案是 $\sum\limits_{i\neq rt} siz_i$。
于是就会发现换根的转移式子和上面那题是一样的。就做完了。

P2986 [USACO10MAR] Great Cow Gathering G

依旧同理，把 $siz$ 换成子树内 $c_i$ 的和，转移柿子乘上边权 $w$ 即可。

P3047 [USACO12FEB]Nearby Cows G

诈骗题。看到题想了半天怎么快速维护区间加减，然后发现自己眼瞎没看见 $k\le 20$...
设 $f_{i,j}$ 表示以点 $i$ 为根的子树里到 $i$ 距离为 $j$ 的所有点的权值和。
然后这东西 O(nk) 暴力转移就完了...
递归完要把修改过的值还原回来。

CF708C Centroids

终于有一道不一样的了
p.s.这题坑死我了。
先考虑已知根节点怎么判断合法性，那么就找到最大的子树，在这个子树里面找一个 $x$ 使 $siz_u-siz_x\le \frac{n}{2}$ 且 $siz_x\le \frac{n}{2}$。
容易想到对于每个节点维护：$siz_x$ 子树大小，$son_x$ 最大子树编号，$f_x$ 以 $x$ 为根的子树内不大于 $\frac{n}{2}$ 的最大子树大小（不包括 $f_x$）。
然后你会发现这样没法 O(n) 换根 dp，因为当从 $u$ 换到 $v$ 且 $v$ 正好是 $f_u$ 那个节点的时候就寄了。
然而本喵并没有意识到，并且在这种情况下暴力枚举 $u$ 的所有儿子来重新求 $f_u$ 甚至还以为它是 O(n)，被菊花图成功卡 TLE/qd
于是思考并调了 1h 的代码白写了/fn
看了题解发现我们还要维护 $f_x$ 的次大值，并保证不是从同一个儿子转移过来。
这样上面那种情况就能直接取次大值来保证复杂度。
好麻烦/kk

P6419 [COCI2014-2015#1] Kamp

顺着上一题思路想出来了，但是要维护的东西好多啊/kk
肯定是需要一个 $cnt_x$ 来判断子树内有无关键点的。（没有就不用往里走了）
首先思考怎么走是最优的方式。假设送完最后一个人要返回出发点的话，设 $f_x$ 为从点 $x$ 出发走完所有关键点再回到 $x$ 的最短路程。这个还是比较好求的，不详细写了（？
题意和上面 $f_x$ 的区别就在最后一个人送完不用回去。那肯定挑距离 $x$ 最远的人当最后一个，因此要维护 $dis_{x,1/2}$ 表示到 $x$ 子树内关键点到 $x$ 距离的最大/次大值。
然后因为距离一样的时候没法判断是不是同一个点，还要一起维护 $g_{x,1/2}$ 表示距离最值相对应的点的编号。
代码实现巨大多分讨，记得随时判断 $cnt$ 是不是 $0$ 以及 $dis_{u,1}$ 是不是在子树 $v$ 里。

其实还有两题要写的，但是摆了。记得抓我回来填坑。

树上背包

发现这个也不会。枯。希望现学来得及吧。

P2014 [CTSC1997] 选课

虽然以前写过，但似乎是没咋看懂式子稀里糊涂敲上去的（？
啊啊啊以前好多这种稀里糊涂照着题解思路/老师代码贺上去的题，每当提起我都记得做过，每当考到就发现不会，深受其害/ll

这题是个森林，则对每棵树的根节点向 $0$ 连边，使之变成一棵树。
设 $f_{i,j,k}$ 表示子树 $i$ 的前 $j$ 个儿子，已经选了 $k$ 门课的最大值。注意：必须选点 $i$
那么 $f_{now,tot,j}=\max(f_{now,tot,j},f_{now,tot-1,j-k}+f_{v,mxtot,k})$。同样注意 $k$ 只能循环到 $j-1$。
类似背包进行滚动数组优化。（似乎滚动了反而更好写（？）
也不知道自己到底会没会/kk

P4516 [JSOI2018] 潜入行动

题面看起来还挺套路，但我不会，树形 dp 是真忘光了啊啊啊啊啊怎么办
式子好长不想写...算了口胡一下吧。
设 $dp[u][j][0/1][0/1]$ 表示子树 $u$ 里放了 $j$ 个，点 $u$ 放了/没放，是否已经被监听。
于是滚动数组一下推出长下面这样的转移柿子$\downarrow$

$\begin{cases}dp[x][i+j][0][0]=\sum dp[x][i][0][0]\times dp[v][j][0][1]\\dp[x][i+j][1][0]=\sum dp[x][i][1][0]\times (dp[v][j][0][0]+dp[v][j][0][1])\\dp[x][i+j][0][1]=\sum (dp[x][i][0][1]\times (dp[v][j][0][1]+dp[v][j][1][1])+dp[x][i][0][0]\times dp[v][j][1][1])\\dp[x][i+j][1][1]=\sum (dp[x][i][1][0]\times (dp[v][j][1][0]+dp[v][j][1][1])+dp[x][i][1][1]\times (dp[v][j][0][0]+dp[v][j][0][1]+dp[v][j][1][0]+dp[v][j][1][1]))\end{cases}$

卡 long long 空间，要强制类型转换。
我不管，我胡了就是我写了！（确信

不知道啥题

OI wiki 为什么给我推黑题啊，不会/kk
所以写到这吧awa

树形 DP

范学长讲树上问题，顺路回来更新一波。

CF822F Madness

贪心题。胡了篇 lg 题解。

P2607 [ZJOI2008] 骑士

基环树上的 dp。第一次做这种题（？
对于每个基环树，dfs 找到环的那条边，对于这条边分别钦定 $u$ 不选/$v$ 不选，分别 dp 即可。
转移显然。
实现的时候写麻烦了，直接并查集判环就可以，不用 dfs。