概率期望 DP 题解合集

期望这东西学了一次忘了，再学一次过了两天又不会了。我是鱼。
故写此博客以便加深记忆及日后复习。
NOIP 前恶补期望（？ 希望有用，RP++（）

经典问题 1

某事件发生概率为 \(p\)，则该事件首次发生的期望次数为 \(\frac{1}{p}\)。
证明 link 懒得打 latex

经典问题 2 SP1026 FAVDICE - Favorite Dice

三倍经验：lgP1291/UVA10288
设已经有 \(k\) 个面出现过。则出现一个新面的概率为 \(\frac{n-k}{n}\)，由上题得出现期望次数为 \(\frac{n}{n-k}\)。
故答案为 \(\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{n}{n-i}=nH_n\)。（H:调和级数）

CF1540B Tree Array

• 对于树上连通块问题先枚举树根。

考虑枚举每个点对 \((u,v)\) 对答案的贡献 (u<v)。
设 \(x=dep[u]-dep[LCA],y=dep[v]-dep[LCA]\)，再设 \(g_{x,y}\) 表示第一个点需要走 \(x\) 步，第二个点需要走 \(y\) 步，且第一个点先走到的概率。
则 \(g_{i,j}=(g_{i,j-1}+g_{i-1,j})/2\) 。预处理即可。

ARC150D Removing Gacha

考虑点 \(u\) 期望被选了多少次，设 \(dep_u\) 为 \(x\)。
由经典问题 2 得，将从 \(u\) 到根节点这条链上的点选满期望需要 \(xH_x\) 次。
每次选到 \(u\) 的概率为 \(\frac{1}{x}\)，那么在这个过程中 \(u\) 期望被选了 \(H_x\) 次。
答案即 \(\sum\limits_{i=1}^ndep_i\)。
连写带调用了一个小时的原因居然是把快速幂敲挂了，一直在检查后面，真服了。

CF850F Rainbow balls

光看懂题解看了一个小时/qd
钦定最后所有球的颜色为 \(x\)。设 \(f_i\) 表示已有 \(i\) 个球为给定颜色。
设 \(p\) 为选出两个球，第一个颜色为 \(x\)，第二个颜色不为 \(x\) 的概率。则：

\[p=\frac{i(s-i)}{s(s-1)} \]

\[f_i=f_{i-1}p+f_{i+1}p+f_i(1-2p)+v \]

其中 \(v\) 为此步对答案的贡献，即在当前局面下 \(x\) 成为留到最后颜色的概率。(所以不是 1）
设 \(g_i\) 为有 \(i\) 个 \(x\) 时留到最后的概率。则有

\[g_0=0,g_s=1 \]

\[g_i=g_{i-1}p+g_{i+1}p+(1-2p)g_i \]

\[g_i-g_{i-1}=g_{i+1}-g_i \]

解得

\[g_i=v=\frac{i}{s} \]

\[f_i=f_{i-1}p+f_{i+1}p+f_i(1-2p)+\frac{i}{s} \]

移项，得

\[f_i-f_{i+1}=f_{i-1}-f_i+\frac{s-1}{s-i} \]

\[f_{i+1}=2f_i-f_{i-1}-\frac{s-1}{s-i} \]

考虑边界，当 \(i=1\) 时不存在 \(f_0\)，代入上式得

\[f_2=2f_1-1 \]

显然 \(f_s=0\)。(我为啥这么显然的事想了半天
那么

\[f_1=f_1-f_s=\sum\limits_{i=2}^s f_i-f_{i-1} \]

\[=(s-1)(f_1-f_2)+(s-2)(s-1) \]

将 \(f_2=2f_1-1\) 代入，得

\[f_1=\frac{(s-1)^2}{s} \]

至此，已知 \(f_1\)，\(f_2\)，根据 \(f_{i+1}=2f_i-f_{i-1}-\frac{s-1}{s-i}\) 递推即可。
答案即为 \(\sum\limits_{i=1}^nf_{a_i}\)。

P2973 [USACO10HOL]Driving Out the Piggies G

终于在高斯消元求期望上迈出了从口胡到代码实现的第一步（？
设 \(f_i\) 为炸弹最后爆炸时在点 \(i\) 的概率。
那么 \(f_i=\sum f_j\times (1-\frac{p}{q})\times \frac{1}{d_j}\)。其中 \(d_j\) 表示点 \(j\) 的度数，且 \(i,j\) 之间有边。
当 \(i=1\) 时，另有 \(f_1=\frac{p}{q}+\sum f_j\times (1-\frac{p}{q})\times \frac{1}{d_j}\)。
高斯消元即可。

P1654 OSU!

我怎么又把期望忘干净了啊。我还会点啥啊。
类比一下高校进阶那个 B 题（？ 为什么当时没写博客来着
维护一个 \(len\) 表示前面期望连续长度。
然后它假了。或许是因为 \(E(x^2)!=E(x)^2\)（？
所以还要维护 \(len^2\) 的期望。式子不贴了。

CF908D New Year and Arbitrary Arrangement

期望神仙题++。
设 \(f_{i,j}\) 表示 前面已经有 \(i\) 个 a，有 \(j\) 对 ab 的方案数。（这个状态设计好神仙，我也不知道怎么能想到qwq
设 \(A=\frac{pa}{pa+pb},B=\frac{pb}{pa+pb}\)。
那么转移就是 \(f_{i,j}=A\times f_{i+1,j}+B\times f_{i,j+i}\)。
边界条件 \(f_{i,j}=i+j+\frac{pa}{pb}(i+j \ge k)\)。
大致推导一下：
当 \(i+j\ge k\) 时，只要后面再出现一个 b 就会结束。所以最后一段是一串 a 加上一个 b。
根据经典结论 1 可知，b 期望第一次出现的时刻为 \(\frac{1}{B}=\frac{pa+pb}{pb}\)。那么期望出现 \(a\) 的个数为 \(\frac{pa+pb}{pb}-1=\frac{pa}{pb}\)，即期望的 ab 对个数。
记搜实现即可。
由于 \(f_{0,0}\) 会转移到自己，我们从 \(f_{1,0}\) 开始转移。对答案没有影响。

CF749E Inversions After Shuffle

纯推柿子题，跟 DP 好像没啥关系。不过不知道该放在哪，所以也写在这篇博客里。
考虑重排前下标为 \((i,j)\) 的点对对答案的贡献。其中 \(i<j\)。
那么分为两种情况：

• \(i,j\) 都在选中的段内
  设选中段为 \([l,r]\)，则满足 \(l\in [1,i],r\in [j,n]\)，易知全部可能的选法有 \(\frac{n(n+1)}{2}\) 种。那么选中的段满足此情况的概率为 \(\frac{2i(n-j+1)}{n(n+1)}\)。
  \((i,j)\) 在随机重排后有 \(\frac{1}{2}\) 的可能构成逆序对，则 \((i,j)\) 对答案的贡献为 \(\frac{i(n-j+1)}{n(n+1)}\)。
  这种情况的总贡献为

\[ \sum \limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=i+1}^n \frac{i(n-j+1)}{n(n+1)}\\ =\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{n-i}\frac{ij}{n(n+1)}\\ =\sum\limits_{i=1}^n \frac{i}{n(n+1)} \times \frac{(n-i+1)(n-i)}{2}\\ =\sum\limits_{i=1}^n \frac{i(n-i+1)(n-i)}{2n(n+1)} \]

• \(i,j\) 不都在选中段内
  显然概率为 \(1-\frac{2i(n-j+1)}{n(n+1)}\)。
  由于 \(i,j\) 不都在选中段内，重排后 \(i,j\) 的相对位置不变。则当 \(a_i>a_j\) 时，\((i,j)\) 对答案有贡献。
  总贡献为 \(\sum \limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=i+1}^n [a_i>a_j]\frac{n(n+1)-2i(n-j+1)}{n(n+1)}\)。
  这个式子在树状数组求逆序对的同时维护一下就好了。

CF643E Bear and Destroying Subtrees

感觉不是第一次见这种 忽视精度误差 做法的题，但是没有想出来。该打。
在每条边有 \(\frac{1}{2}\) 概率断掉的情况下，可知不论什么形态，树的深度大于 \(60\) 的概率都是远小于 \(10^6\) 的，可以忽略不计。
所以我们只考虑深度不大于 \(60\) 的情况对答案的贡献。
设 \(f_{u,i}\) 表示子树 \(u\) 的深度不大于 \(i\) 的概率。
那么可以得到 \(f_{u,i}=\prod\limits_{v\in son_u} \frac{1}{2} (f_{v,i-1}+1)\)。
则 \(u\) 的子树深度期望就是 \(\sum\limits_{i=1}^{60} i(f_{u,i}-f_{u,i-1})\)。
显然 \(f_{u,60}\) 趋近于 \(1\)，那么这个式可以化简等于 \(60-\sum_{i=1}^{59}f_{u,i}\)。
注意题里的深度是我们设的深度 \(-1\)。
当新建节点 \(u\) 时，它只对上面 \(60\) 个祖先的 \(f\) 值产生影响，依次修改即可。