实验五：MATLAB最优化工具箱的使用

实验五：MATLAB最优化工具箱的使用

一、实验目的

通过一个农业生产计划优化安排的实例求解，培养学生解决实际线性规划问题的初步能力；熟悉线性规划的建模过程；掌握 Matlab 优化工具箱中线性规划函数的调用。

 

通过一个投资组合优化问题的实例求解，培养学生解决实际二次规划问题的初步能力；熟悉线 性规划的建模过程； 掌握 Matlab 优化工具箱中线性规划函数的调用。

 

二、实验内容

 

1. 线性规划应用案例的求解

  某村计划在 100 公顷的土地上种植 a、b、c 三种农作物。可以提供的劳力、粪肥和化肥等资源的数量，种植每公顷农作物所需这三种资源的数量，以及能够获得的利润如表所示。

种植投入产出表

 

	用  工	粪肥(吨)	化肥(千克)	利润(元)
a	450	35	350	1500
b	600	25	400	1200
c	900	30	300	1800
可提供资源	63000	3300	33000

其中一个劳动力干一天为 1 个工。现在要求为该村制定一个农作物的种植计划，确定每种农作 物的种植面积， 使得总利润最大。

操作要点：

(1)建立线性规划的数学模型；

(2)安装 Matlab 优化工具箱(Optimization Toolbox)，并学习工具箱中求解线性规划的函数；

(3)利用 Matlab 优化工具箱解线性规划问题。

(4)运行该程序，在命令窗记录下最优解 x 和对应的最优值fval。

2.二次规划应用案例的求解

 

求解从一点(0,0,0)到超平面{x|Ax = b}的最短距离，

其中， A = [1 2 -1;-1 1 -1]，b = [4 2]’。

通过建模构造二次规划问题，求解以上问题的最优解和最优值。

操作要点：

(1)建立二次规划的数学模型；

(2)安装 Matlab 优化工具箱(Optimization Toolbox)，并学习工具箱中求解二次规划的函数；

(3)利用 Matlab 优化工具箱解二次规划问题。

(4)运行该程序，在命令窗记录下最优解 x 和对应的最优值fval

 

 

三、算法步骤、代码、及结果

一：

1. 算法步骤

设x1，x2，x3分别表示农作物A，B，C的种植面积

 

问题模型：

 

max z = 1500x1 + 1200x2 + 1800x3

 

s.t.  

 

x1 + x2 + x3 = 100

 

450x1 + 600x2 + 900x3 <=63000

 

35x1 + 25x2 + 30x3 <=3300

 

350x1 + 400x2 + 300x3 <=33000

 

x1, x2, x3 >= 0

2. 代码

>>f=[1500 1200 1800]';

>> f=-f;

>> a=[450 600 900;35 25 30;350 400 300];

>> b=[63000 3300 33000]';

>> acq=[1 1 1];

>> aeq=[1 1 1];

>> beq=[100];

>> lb=zeros(3,1);

>> [x,fval,exitflag,output,lamdba]=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb)

 

1. 结果

x =

 

   60.0000

    0.0000

   40.0000

 

 

fval =

 

  -1.6200e+05

 

 

exitflag =

 

     1

 

 

output =

 

         iterations: 5

          algorithm: 'interior-point-legacy'

       cgiterations: 0

            message: 'Optimization terminated.'

    constrviolation: 1.8917e-10

      firstorderopt: 1.6385e-08

 

 

lamdba =

 

    ineqlin: [3x1 double]

      eqlin: -1.1927e+05

      upper: [3x1 double]

      lower: [3x1 double]

最优种植方案为种植A作物60公顷，B作物0公顷，C作物40公顷，总利润16200元

 二：

1.算法步骤：

该问题可以用二次规划来求解。首先，我们需要确定这个问题的数学模型。

设点（ Xi , X , Xy ）到超平面 Ax = b 的最短距离为 d ．则该问题的目标是求最短距离 d ，即：

 

 min 

 

而约束条件为点（,,）在超平面 Ax = b 上，因此有：

 Ax = b 

 

同时， d 表示所求的距离，可以表示为：

 df =

 

将 of 表示成决策变量的形式，得到：

 d = xTx 

其中 X =[ X ]，为，为 g ] T ，为决策变量。因此，我们可以列出如下的二次规划模型：

 

 min XX 

 s . t . Ax = b 

 xERs 

 

接下来，使用 MATLAB 的二次规划函数 quadprog 求解该模型：

2.代码：

% 构造二次规划模型

H = 2 * eye(3);

f = zeros(3,1);

Aeq = [1 1 0; 1 0 1];

beq = [1;0];

x0 = [0; 0; 0];

% 调用quadprog函数求解

[x,fval] = quadprog(H, f, [], [], Aeq, beq, [], [], x0);

 

3.结果：

x =

 

    0.3333

    0.3333

   -0.6667

 

fval =

 

    0.6667