一次性弄懂到底什么叫做分治思想（含有大量经典例题，附带详细解析）
期末了，通过写博客的方式复习一下算法，把自己知道的全部写出来
分治：分而治之，把一个复杂的问题分解成很多规模较小的子问题，然后解决这些子问题，把解决的子问题合并起来，大问题就解决了
但是我们应该在什么时候用分治呢？这个问题也困扰了我很久，做题的时候就不知道用什么算法
能用分治法的基本特征：
1.问题缩小到一定规模容易解决
2.分解成的子问题是相同种类的子问题，即该问题具有最优子结构性质
3.分解而成的小问题在解决之后要可以合并
4.子问题是相互独立的，即子问题之间没有公共的子问题
第一条大多数问题都可以满足
第二条的大多数问题也可以满足，反应的是递归的思想
第三条：这个是能分治的关键，解决子问题之后如果不能合并从而解决大问题的话，那凉凉，如果满足一，二，不满足三，即具有最优子结构的话，可以考虑贪心或者dp
第四条：如果不满足第四条的话，也可以用分治，但是在分治的过程中，有大量的重复子问题被多次的计算，拖慢了算法效率，这样的问题可以考虑dp（大量重复子问题）
了解了什么问题可以采用分治，那么分治到达怎么用？步骤是什么呢
三个步骤：
1.分解成很多子问题
2.解决这些子问题
3.将解决的子问题合并从而解决整个大问题
化成一颗问题树的话，最底下的就是很多小问题，最上面的就是要解决的大问题，自底向上的方式求解问题
说的再多不如看经典的样例，更好的体会分治的思想
样例1：二分查找
条件：数组有序，假设是升序数组
虽然二分很容易，但是我还是要具体从算法思想分治的方向分析一下
现在我们要在一个有序的升序数组里面查找一个数x有没有
暴力的做法就是拿跟数组里面每个数比较一下，有的话就返回下标，这个是大问题
仔细想一下，就知道这个大问题是由很多小问题组成的，小问题：在数组的一部分里面找x
那么我们可以把数组分成很多部分，在很多部分里面找x，如果在这些部分里面没有找到x，那么把这些子问题合并起来，就是大数组里面没有x，否则就是有x
这个真的很好的反应了分治的思想，先分解成很多小问题，解决这些小问题，把解决的小问题合并起来，大问题就解决了，二分具体的做法我就不多说了，都知道，贴个代码
#include<string.h> #include<stdio.h> int k; int binarysearch(int a[],int x,int low,int high)//a表示需要二分的有序数组（升序），x表示需要查找的数字，low，high表示高低位 { if(low>high) { return -1;//没有找到 } int mid=(low+high)/2; if(x==a[mid])//找到x { k=mid; return x; } else if(x>a[mid]) //x在后半部分 { binarysearch(a,x,mid+1,high);//在后半部分继续二分查找 } else//x在前半部分 { binarysearch(a,x,low,mid-1); } } int main() { int a[10]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; printf("请输入需要查找的正数字：\n"); int x; scanf("%d",&x); int r=binarysearch(a,x,0,9); if(r==-1) { printf("没有查到\n"); } else { printf("查到了,在数列的第%d个位置上\n",k+1); } return 0; }
经典样例二：全排列问题
有1，2，3，4个数，问你有多少种排列方法，输出来
仔细想想，采用分治的话，我们就要把大问题分解成很多的子问题，大问题是所有的排列方法
那么我们分解得到的小问题就是以1开头的排列，以2开头的排列，以3开头的排列，以4开头的排列
现在这些问题有能继续分解，比如以1开头的排列中，只确定了1的位置，没有确定2，3，4的位置，把2
3，4三个又看成大问题继续分解，2做第二个，3做第二个，或者4做第二个
一直分解下去，直到分解成的子问题只有一个数字的时候，不再分解
因为1个数字肯定只有一种排列方式啊，现在我们分解成了很多的小问题，解决一个小问题就合并，合并成
一个大点的问题，合并之后这个大点的问题也解决了，再将这些大点的问题合并成一个更大的问题，那么这
个更大点的问题也解决了，直到最大的问题解决为止
这个就是用分治的思想解决全排列问题，我主要想分析的是分治的思想者全排列问题上是怎么用的，不想分析具体全排列的做法，因为我觉得思想比方法更重要，在解题的时候深有体会，因为又的时候没有题是你做过的原题，全排列问题的具体做法参考我的这篇博客：https://www.cnblogs.com/yinbiao/p/8684313.html，也贴一下代码
#include<string.h> #include<stdio.h> int k=0; char a[100]; long long count=0;//全排列个数的计数 void s(char a[],int i,int k)//将第i个字符和第k个字符交换 { char t=a[i]; a[i]=a[k]; a[k]=t; } void f(char a[],int k,int n) { if(k==n-1)//深度控制，此时框里面只有一个字符了，所以只有一种情况，所以输出 { puts(a); count++; } int i; for(i=k;i<n;i++) { s(a,i,k); f(a,k+1,n); s(a,i,k);//复原，就将交换后的序列除去第一个元素放入到下一次递归中去了，递归完成了再进行下一次循环。这是某一次循环程序所做的工作，这里有一个问题，那就是在进入到下一次循环时，序列是被改变了。可是，如果我们要假定第一位的所有可能性的话，那么，就必须是在建立在这些序列的初始状态一致的情况下,所以每次交换后，要还原，确保初始状态一致。 } } int main() { gets(a); int l=strlen(a);//字符串长度 f(a,k,l); printf("全排列个数:%lld\n",count); return 0; }
经典样例三：整数划分问题
给你一个数，问你所有的划分方式，比如4，4=1+3，4=1+1+2，4=2+2，4=1+1+1+1
我们来分析一下，我们想用分治的话，就要找子问题，假设n是要划分的数，m说最大的加数，n=4，m=3
分解成两类的子问题，一个是：一个是有m的情况，一个是没有m的情况，然后将有m的情况继续划分，分
解成有m-1和没有m-1的情况，一直划分下去，直到m=1，比如n=4，m=3，划分成的子问题：有3，无
3，有2，无2，有1，无1（没有意义，除非0+4=4），将这些子问题合并起来大问题就解决了，比如有
3：1+3，没有3分成有2，和无2，有2：1+1+2，2+2,无2分成有1：1+1+1+1，一共四种解决方案
我们来理一下思路：划分成子问题，解决这些子问题，合并
但是注意：这个问题里面的子问题有很多是重复的，大量重复子问题，比如n=5，m=4，1+4=5，1+1+
3=5，2+3=5，求3有几种划分方法的时候求了2次，如果n很大的话，那么就会有大量的重复子问题，这个时候可以采用dp（自己有点不理解重复子问题重复在哪里，觉得哪里有点不对劲）
分析了一下题中分治的思想，具体做法参考我的这篇博客：https://www.cnblogs.com/yinbiao/p/8672198.html，也贴个代码
/* 整数划分问题 ：将一个整数划分为若干个数相加 例子： 整数4 最大加数 4 4=4 1+3=4 1+1+2=4 2+2=4 1+1+1+1=4 一共五种划分方案 注意：1+3=4，3+1=4被认为是同一种划分方案 */ #include<stdio.h> int q(int n,int m)//n表示需要划分的数字，m表示最大的家数不超过m { if(m==1||n==1)//只要存在一个为1，那么划分的方法数肯定只有一种，那就是n个1相加 { return 1; }else if(n==m&&n>1)//二者相等且大于1的时候，问题等价于：q(n,n-1)+1;意味着将最大加数减一之后n的划分数，然后加一，最后面那个一代表的是：0+n，这个划分的方案 { return q(n,n-1)+1; }else if(n<m)//如果m>n,那么令m=n就ok，因为最大加数在逻辑上不可能超过n { return q(n,n); }else if(n>m) { return q(n,m-1)+q(n-m,m);//分为两种：划分方案没有m的情况+划分方案有m的情况 } return 0; } int main() { printf("请输入需要划分的数字和最大家数：\n"); int n,m; scanf("%d %d",&n,&m); int r=q(n,m); printf("%d\n",r); return 0; }
经典样例4：归并排序
把一个无序的数组，变成一个有序的数组，这个是大问题，根据分治的思想，要分解成很多的小问题，比如
无序数组8个数，要使得数组有序，即使得这8个数有序，分解成两个子问题：使得前面4个数有序，使得后
面的四个数有序，然后继续分解，在前面的4个数字中，又把它看成一个大问题，继续分解成两个小问题：
使得前面两个数有序，使得后面两个数有序，直到小问题数组中只有一个数为止，因为一个数的数组肯定是
有序的，小问题解决之后，还需要合并成一个大一点的问题，这样这个大一点的问题就也解决了，然后将两
个大一点的问题继续合并成一个更大一点的问题，这样这个更大一点的问题也解决了，直到最后，最大的问
题也解决了，这个就是分治思想在归并排序中的应用
也贴个代码，附带详细的解析
/* 归并排序 思想： 1.分而治之，将一个无序的数列一直一分为二，直到分到序列中只有一个数的时候，这个序列肯定是有序的，因为只有一个数，然后将两个只含有一个数字的序列合并为含有两个数字的有序序列，这样一直进行下去，最后就变成了一个大的有序数列 2.递归的结束条件是分到最小的序列只有一个数字的时候 时间复杂度分析： 最坏情况：T(n)=O(n*lg n) 平均情况：T(n)=O(n*lg n) 稳定性：稳定（两个数相等的情况，不用移动位置 辅助空间：O(n) 特点总结： 高效 耗内存（需要一个同目标数组SR相同大小的数组来运行算法） */ #include<stdio.h> #define max 1024 int SR[max],TR[max]; int merge(int SR[],int TR[],int s,int m,int t)//SR代表两个有序序列构成的序列，s表示起始位置，m表示两个序列的分解位置，但是SR[m]仍是属于前面一个序列，t表示结束位置 {//TR是一个空数组，用来存放排序好之后的数字 int i=s,j=m+1,k=s; while(i<=m&&j<=t) { if(SR[i]<SR[j]) { TR[k++]=SR[i++]; }else { TR[k++]=SR[j++]; } } while(i<=m)//当前面一个序列有剩余的时候，直接把剩余数字放在TR的后面 { TR[k++]=SR[i++]; } while(j<=t)//当后面一个序列有剩余的时候，直接把剩余数字放在TR的后面 { TR[k++]=SR[j++]; } return 0; }//该函数要求SR是由两个有序序列构成 void copy(int SR[],int TR[],int s,int t)//把TR赋给SR { int i; for(i=s;i<=t;i++) { SR[i]=TR[i]; } } int mergesort(int SR[],int s,int t) { if(s<t)//表示从s到t有多个数字 { int m=(s+t)/2;//将序列一分为二 mergesort(SR,s,m);//前一半序列继续进行归并排序 mergesort(SR,m+1,t);//后一半序列同时进行归并排序， //以上递归调用的结束条件是s!<t,也就是进行分到只有一个数字进行归并排序的时候，一个序列只有一个数字，那么这个序列肯定是有序的 //以上都是属于“分”的阶段，目的是获得两个有序的数列 merge(SR,TR,s,m,t);//对这两个有序的数列，进行排序，变成一个同样大小但是有序的数列 copy(SR,TR,s,t);//将在TR中排序好的数列给SR，方便SR递归调用归并排序，因为每次两个归并排序的结果都是保存在TR中的，现在要进行下一步就必须在TR数列的基础上面=进行，所以我们把TR给SR }else//表示从s到t只有一个数字（s==t），或者没有数字（s>t） { ;//空，也可省略，加一个else只是为了更好的理解程序 } return 0; } int main() { int n; printf("请输入排序数字的个数:\n"); scanf("%d",&n); int i; for(i=0;i<n;i++) { scanf("%d",&SR[i]); } mergesort(SR,0,n-1);//升序排列 for(i=0;i<n;i++) { printf("%d ",SR[i]); } printf("\n"); return 0; }
经典样例五：棋盘覆盖问题
不知道棋盘覆盖问题的请自行百度
在棋盘的某个位置给了你一个不可覆盖点，现在大问题是问我们怎么用L形状块覆盖整个棋盘，现在我们要把大问题分解成很多的子问题：把整块大棋盘分成同样大小的四个棋盘，直到分解成的棋盘大小为1，就是只有一个格子的时候，不再分解，所以最小的子问题就是四个格子的棋盘，如果这个四个格子的棋盘有不可覆盖点的话，那么就进行棋盘覆盖，如果没有的话就进行覆盖点的构造然后在覆盖（先不讲怎么判断，怎么构造，只讲思想，具体做法我有专门的博客），所以这样我们就解决了这个四个格子的棋盘，把所有的这样的小问题解决的，也就是把解决好的小棋盘合并起来不就构成了我们需要的大棋盘吗？
理清一下思路：
分解棋盘（分解成四个小棋盘，一直分解下去，直到棋盘大小为1）
解决问题（是直接覆盖还是先构造再覆盖）
合并已经解决的问题（将已经解决的所有小问题合并起来就构成了我们需要覆盖的大棋盘，且此时大棋盘也
已经覆盖好了）
棋盘问题具体做法请参考我的这篇博客：https://www.cnblogs.com/yinbiao/p/8666209.html
也贴一下代码吧
#include<stdio.h> #define max 1024 int cb[max][max];//最大棋盘 int id=0;//覆盖标志位 int chessboard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size)//tr，tc代表棋盘左上角的位置，dr ,dc代表棋盘不可覆盖点的位置,size是棋盘大小 { if(size==1)//如果递归到某个时候，棋盘大小为1，则结束递归 { return 0; } int s=size/2;//使得新得到的棋盘为原来棋盘大小的四分之一 int t=id++; if(dr<tr+s&&dc<tc+s)//如果不可覆盖点在左上角，就对这个棋盘左上角的四分之一重新进行棋盘覆盖 { chessboard(tr,tc,dr,dc,s); }else//因为不可覆盖点不在左上角，所以我们要在左上角构造一个不可覆盖点 { cb[tr+s-1][tc+s-1]=t;//构造完毕 chessboard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);//在我们构造完不可覆盖点之后，棋盘的左上角的四分之一又有了不可覆盖点，所以就对左上角棋盘的四分之一进行棋盘覆盖 } if(dr<tr+s&&dc>=tc+s)//如果不可覆盖点在右上角，就对这个棋盘右上角的四分之一重新进行棋盘覆盖 { chessboard(tr,tc+s,dr,dc,s); }else//因为不可覆盖点不在右上角，所以我们要在右上角构造一个不可覆盖点 { cb[tr+s-1][tc+s]=t; chessboard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);//在我们构造完不可覆盖点之后，棋盘的右上角的四分之一又有了不可覆盖点，所以就对右上角棋盘的四分之一进行棋盘覆盖 } if(dr>=tr+s&&dc<tc+s)//如果不可覆盖点在左下角，就对这个棋盘左下角的四分之一重新进行棋盘覆盖 { chessboard(tr+s,tc,dr,dc,s); }else//因为不可覆盖点不在左下角，所以我们要在左下角构造一个不可覆盖点 { cb[tr+s][tc+s-1]=t; chessboard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);//在我们构造完不可覆盖点之后，棋盘的左下角的四分之一又有了不可覆盖点，所以就对左下角棋盘的四分之一进行棋盘覆盖 } if(dr>=tr+s&&dc>=tc+s)//如果不可覆盖点在右下角，就对这个棋盘右下角的四分之一重新进行棋盘覆盖 { chessboard(tr+s,tc+s,dr,dc,s); }else//因为不可覆盖点不在右下角，所以我们要在右下角构造一个不可覆盖点 { cb[tr+s][tc+s]=t; chessboard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);//在我们构造完不可覆盖点之后，棋盘的右下角的四分之一又有了不可覆盖点，所以就对右下角棋盘的四分之一进行棋盘覆盖 } //后面的四个步骤都跟第一个类似 } int main() { printf("请输入正方形棋盘的大小（行数）:\n"); int n; scanf("%d",&n); printf("请输入在%d*%d棋盘上不可覆盖点的位置:\n",n,n); int i,j,k,l; scanf("%d %d",&i,&j); printf("不可覆盖点位置输入完毕，不可覆盖点的值为-1\n"); cb[i][j]=-1; chessboard(0,0,i,j,n); for(k=0;k<n;k++) { printf("%2d",cb[k][0]); for(l=1;l<n;l++) { printf(" %2d",cb[k][l]); } printf("\n"); } return 0; }
经典样例六：快速排序
快速排序中分治的思想体现在哪里呢？
首先我们要了解快速排序的思想，选择一个基准元素，比基准元素大的放基准元素后面，比基准元素小的放
基准元素前面，这个叫做分区，每次分区都使得一个元素有序，进行很多次分区以后，数组就是有序数组
了，为什么是这样呢？因为每次分区，我们都使得了基准元素有序，以比基准元素小的为例，这些元素都比
基准元素小，放在基准元素前面，但这些比基准元素小的元素自己是无序的，确定的位置只有基准元素位
置，有序之后这些元素与基准元素的相对位置是不会变的，变的只有这些元素自己内部的位置，因为进行一
次分区就可以使得一位元素有序，所以进行很夺次分区以后，数组就是有序的了，
那么分治的思想到底体现在哪里呢/
第一步：把大问题分解成很多子问题（每次使得一位元素有序，分区操作可以做到）
第二步：解决子问题（进行分区操作，每次使得一位元素有序）
第三步：所有子问题解决了那么最大的问题也解决了
再简单分析一下：第一次分区是对整个数组进行分区，确定了第一个基准元素的位置，然后对比基准元素大
的和比基准元素小的进行分区，确定第二个和第三个基准元素的位置，如果序列够好的话（每次分区时，比
基准元素大的元素和比基准元素小的元素每次都一样多）n*logn时间可解决
关于快排的具体做法请参考我的这篇博客：https://www.cnblogs.com/yinbiao/p/8805233.html
也贴个代码吧（随机化快排，基准元素选择是随机的）
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define n 5 int a[n]; void swap_t(int a[],int i,int j) { int t=a[i]; a[i]=a[j]; a[j]=t; } int par(int a[],int p,int q) { int i=p;//p是轴 int x=a[p]; for(int j=p+1;j<=q;j++) { if(a[j]<=x) { i++; swap_t(a,i,j); } } swap_t(a,p,i); return i;//轴位置 } int Random(int p,int q) { return rand()%(q-p+1)+p; } int Randomizedpar(int a[],int p,int q) { int i=Random(p,q); swap_t(a,p,i);//第一个和第i个交换，相当于有了一个随机基准元素 return par(a,p,q); } void RandomizedQuickSort(int a[],int p,int q) { if(p<q) { int r=Randomizedpar(a,p,q); printf("%d到%d之间的随机数：%d\n",p,q,r); RandomizedQuickSort(a,p,r-1); RandomizedQuickSort(a,r+1,q); } } int main() { int i; for(i=0;i<n;i++) { scanf("%d",&a[i]); } RandomizedQuickSort(a,0,n-1); for(i=0;i<n;i++) { printf("%d\n",a[i]); } return 0; }
经典样例七：求第k小/大元素
这是快排分区思想的应用，也要进行分区操作，和快排不同的是，快排分区之后还有继续处理基准元素
两边的数据，而求k小/大不用，只用处理一边即可
假如现在这里5个元素，分为1，2，3，4，5号位置
第一种情况：假设求第3小元素，假设第一次分区的基准元素完成分区后在第2号位置，那么我们知道3>2
所以只要对基准元素后面的元素继续分区就可以（注意k的值要变了，k代表的是在升序有序数组的1相对位
置，现在对第一次分区的基准元素后面的元素进行分区操作，区间大小是变小了的，所以k值是要跟着变的）
讲了这么多，所以分治的思想到底体现在哪里呢？
跟快排一样，有分区操作，所以分治的思想在这里的体现和在快排的体现都是一样的，不同的是这里只要对
基准元素前面元素或者后面元素进行继续分区(如果需要继续分区的话），而快排是基准元素两边都要继续
分区的
贴个代码（采用的是随机分区）
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; void swap_t(int a[],int i,int j) { int t=a[i]; a[i]=a[j]; a[j]=t; } int par(int a[],int p,int q)//p是轴,轴前面是比a[p]小的，后面是比a[p]大的 { int i=p,x=a[p]; for(int j=p+1;j<=q;j++) { if(a[j]>=x) { i++; swap_t(a,i,j); } } swap_t(a,p,i); return i;//返回轴位置 } int Random(int p,int q)//返回p，q之间的随机数 { return rand()%(q-p+1)+p; } int Randomizedpar(int a[],int p,int q) { int i=Random(p,q); swap_t(a,p,i);//第一个和第i个交换，相当于有了一个随机基准元素 return par(a,p,q); } int RandomizedSelect(int a[],int p,int r,int k) { if(p==r) return a[p]; int i=Randomizedpar(a,p,r); int j=i-p+1; printf("i=%d j=%d\n",i,j); if(k<=j) return RandomizedSelect(a,p,i,k); else return RandomizedSelect(a,i+1,r,k-j); } int main() { int n; scanf("%d",&n); int a[n]; for(int i=0;i<n;i++) { scanf("%d",&a[i]); } int x=RandomizedSelect(a,0,n-1,2); printf("%d\n",x); }
样例大概就是这些
还有一个很重要的知识点差点忘了复习，分治的主定理
分治的一般形式：
T(N)=aT(N/b)+f(n)
1.a==1 T(n)=O(logn)
2.a!=1 T(n)=O（n的logb a）次方
3. a==b T(n)=O(n*log b a)
4 a<b T(n)=O(n)
5. a>b T(n)=O(n的log b a次方）
用于估算分治算法的时间复杂的（数学log 的指数和底数不好表示。。。）
