剑指offer-礼物的最大价值 (dp)

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：

0 < grid.length <= 200
0 < grid[0].length <= 200

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/li-wu-de-zui-da-jie-zhi-lcof

解析：
动态规划
dp[i][j]：走到i,j位置的最大价值是多少
其实只要两个方向可以走到i,j位置，那就是在i-1,j位置向下走一行，或者在i，j-1位置向右走一列
可以发现要走到i,j的位置，dp[i][j]依赖上述两个位置，那么取上述两个位置中的最大值然后加上当前i,j位置的值即可
所以我们可以得到状态转移方程
i0 情况 dp[i][j]=dp[i][j-1]+grid[i][j]
j0 情况 dp[i][j]=dp[i-1][j]+grid[i][j]
i!=0 && j!=0 情况 dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j]
此时时间复杂度为O(N*M)
但空间复杂度还可以优化一下，每次计算都只依赖与之前计算过的dp值或当前位置原有的值(grid[i][j])
那么我们可以用grid数组来充当dp数组，这样空间复杂度可以简化到O(1)

var dp[205][205]int
func maxValue(grid [][]int) int {
	n:=len(grid)
	m:=len(grid[0])

	for i:=0;i<n;i++{
		for j:=0;j<m;j++{
			dp[i][j]=0
		}
	}

	dp[0][0]=grid[0][0]
	for i:=0;i<n;i++{
		for j:=0;j<m;j++{
			if i==0&&j==0{
				continue
			}else if i==0{
				dp[i][j]=dp[i][j-1]+grid[i][j]
			}else if j==0{
				dp[i][j]=dp[i-1][j]+grid[i][j]
			}else {
				dp[i][j]= int(math.Max(float64(dp[i-1][j]), float64(dp[i][j-1])))+grid[i][j]
			}
		}
	}
	return dp[n-1][m-1]
}

func maxValue(grid [][]int) int {
	n:=len(grid)
	m:=len(grid[0])

	for i:=0;i<n;i++{
		for j:=0;j<m;j++{
			if i==0&&j==0{
				continue
			}else if i==0{
				grid[i][j]=grid[i][j-1]+grid[i][j]
			}else if j==0{
				grid[i][j]=grid[i-1][j]+grid[i][j]
			}else {
				grid[i][j]= int(math.Max(float64(grid[i-1][j]), float64(grid[i][j-1])))+grid[i][j]
			}
		}
	}
	return grid[n-1][m-1]
}