洛谷3227 切糕（最小割）
题目描述
经过千辛万苦小 A 得到了一块切糕，切糕的形状是长方体，小 A 打算拦腰将切糕切成两半分给小 B。出于美观考虑，小 A 希望切面能尽量光滑且和谐。于是她找到你，希望你能帮她找出最好的切割方案。
出于简便考虑，我们将切糕视作一个长 P、宽 Q、高 R 的长方体点阵。我们将位于第 z层中第 x 行、第 y 列上(1≤x≤P, 1≤y≤Q, 1≤z≤R)的点称为(x,y,z)，它有一个非负的不和谐值 v(x,y,z)。一个合法的切面满足以下两个条件：
与每个纵轴(一共有 P*Q 个纵轴)有且仅有一个交点。即切面是一个函数 f(x,y)，对于所有 1≤x≤P, 1≤y≤Q,我们需指定一个切割点 f(x,y),且 1≤f(x,y)≤R。
切面需要满足一定的光滑性要求，即相邻纵轴上的切割点不能相距太远。对于所有的 1≤x,x’≤P 和 1≤y,y’≤Q，若|x-x’|+|y-y’|=1，则|f(x,y)-f(x’,y’)| ≤D，其中 D 是给定的一个非负整数。 可能有许多切面f 满足上面的条件，小A 希望找出总的切割点上的不和谐值最小的那个。
输入输出格式
输入格式：
第一行是三个正整数P,Q,R，表示切糕的长P、 宽Q、高R。第二行有一个非负整数D，表示光滑性要求。接下来是R个P行Q列的矩阵，第z个 矩阵的第x行第y列是v(x,y,z) (1<=x<=P, 1<=y<=Q, 1<=z<=R)。 100%的数据满足P,Q,R<=40，0<=D<=R，且给出的所有的不和谐值不超过1000。
输出格式：
仅包含一个整数，表示在合法基础上最小的总不和谐值。
QwQ说实话 这个题一开始我连题意都没有理解，
这里是简化版的题意
可以这么来理解，就是先假设一个平面有\(p*q\)个点，然后对于每个点\((i,j)\)，必须选择一个值\(k\)，得到一个不开心值\(v(i,j,k)\)，相邻两个点的\(k\)值之差要小雨\(d\)，求最小化不开心值的和QwQ
其实一开始，看这个题.....没什么思路 嗯
看了题解，听过某大佬的讲解之后，才知道是个最小割
既然这样，我们就不妨先忽略这个\(d\)的限制条件，考虑没有限制的情况
我们不妨设源点和汇点\(s,t\)，增加一个附加层\(r+1\)层
然后\(s\)向第一层的点连边，\(r+1\)层的边向\(t\)连边
对于中间的点，很显然是\((i,j,k)->(i,j,k+1)\) 流量为\(v(i,j,k)\),很容易证明，这样跑最小割，每一个纵轴，会且仅会切一道。
那么加上限制.....该怎么限制呢
让删除这些边 不影响连通 不就好了咯
对于相邻的两个点\((i,j)\)和\((x,y)\),我们将\((i,j,k)->(x,y,k-d)\)流量是\(inf\) 就能保证QwQ当\((i,j)\)选了k的时候，\((x,y)\)必须要弄距离是D以内的
QwQ相反同理
然后....一定一定记得看清楚读入的顺序
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while (isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const int maxn = 55;
const int maxm = 2e6+1e2;
const int inf = 1e9;
int a[maxn][maxn][maxn];
int point[100010],nxt[maxm],val[maxm],to[maxm];
int h[100010];
queue<int> que;
int cnt=1;
int s,t;
int dx[5]={0,1,0,-1,0};
int dy[5]={0,0,1,0,-1};
void addedge(int x,int y,int w)
{
nxt[++cnt]=point[x];
to[cnt]=y;
val[cnt]=w;
point[x]=cnt;
}
void insert(int x,int y,int w)
{
addedge(x,y,w);
addedge(y,x,0);
}
bool bfs(int s)
{
memset(h,-1,sizeof(h));
h[s]=0;
que.push(s);
while (!que.empty())
{
int x = que.front();
que.pop();
for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
{
int p = to[i];
if (val[i]>0 &&h[p]==-1)
{
h[p]=h[x]+1;
que.push(p);
}
}
}
if (h[t]==-1) return false;
else return true;
}
int dfs(int x,int low)
{
if (x==t || low==0) return low;
int totflow=0;
for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
{
int p = to[i];
if (val[i]>0 && h[p]==h[x]+1)
{
int tmp = dfs(p,min(low,val[i]));
val[i]-=tmp;
val[i^1]+=tmp;
low-=tmp;
totflow+=tmp;
if (low==0) return totflow;
}
}
if (low>0) h[x]=-1;
return totflow;
}
int solve()
{
int ans=0;
while (bfs(s))
{
ans+=dfs(s,inf);
}
return ans;
}
int p,q,r;
int d;
int main()
{
p=read(),q=read(),r=read();
d=read();
for (int k=1;k<=r;k++)
for (int i=1;i<=p;i++)
for (int j=1;j<=q;j++)
a[i][j][k]=read();
s=100004;
t=s+1;
for (int i=1;i<=p;i++)
for (int j=1;j<=q;j++)
{
insert(s,(i-1)*q+j,inf);
}
for (int i=1;i<=p;i++)
{
for (int j=1;j<=q;j++)
{
int now = (i-1)*q+j;
for (int k=1;k<=r;k++)
{
insert(now+p*q*(k-1),now+p*q*k,a[i][j][k]);
}
}
}
for (int i=1;i<=p;i++)
for (int j=1;j<=q;j++)
{
insert((i-1)*q+j+p*q*r,t,inf);
}
for (int i=1;i<=p;i++)
for (int j=1;j<=q;j++)
{
for (int o=1;o<=4;o++)
{
int x = i+dx[o],y=j+dy[o];
if (x<1 || x>p || y<1 || y>q) continue;
for (int k=d;k<=r;k++)
{
insert(p*q*k+(i-1)*q+j,p*q*(k-d)+(x-1)*q+y,inf);
}
}
}
cout<<solve();
return 0;
}
