关于逆元的学习笔记(尚未完成)
QwQ嘤嘤嘤 只是为了整理一下自己的求逆元的方法
假设我们要求a在模p意义下的逆元,我们会有以下几种做法:
1>如果p是质数的话 $$a^{p-1} \equiv 1 \pmod p $$
那么我们稍加变形,就能得出$$a^{p-2} \equiv \frac{1}{a} \pmod p$$
那么\(a^{p-2}\)就是逆元了
可以直接用快速幂求解
ll qsm(ll ii,ll j)
{
ll ans=1;
while (j)
{
if (j&1) ans=ans*i%mod;
i=i*i%mod;
j>>=1;
}
return ans;
}
int main()
{
inv = qsm(a,p-2)
}
2.扩展欧几里得
求逆元,实际上就是求这个式子的x
\[ax \equiv 1 \pmod p
\]
然后解一下就好
void exgcd(ll &x,ll &y,ll a,ll b)
{
if (b==0)
{
x=1;
y=0;
return;
}
exgcd(x,y,b,a%b);
ll tmp =x;
x=y;
y=tmp-a/b*y;
}
3.线性求逆元
能够求出\(1-n\)所有数在\(mod\) p意义下的逆元
首先我们对于一个要求的数\(i\)来说
\(p=k*i+r\)
那么$$k*i+r \equiv 0 \pmod p $$
等式两边同时乘\(i^{-1}*r^{-1}\)
则$$k*r{-1}+i\equiv 0 \pmod p $$
\[i^{-1}\equiv -k*r^{-1} \pmod p
\]
又因为$k=\lfloor \frac{p}{i} \rfloor,r=p\ %\ i $
所以$$i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{i} \rfloor*(p\mod\ i)^{-1} \pmod p$$
inv[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
inv[i]=-(p/i)*inv[p%i];
inv[i]=(inv[i]%p+p)%p;
}