中国剩余定理学习笔记

中国剩余定理

中国剩余定理常用来求解同余方程组，形如

\[x \equiv a_i \pmod m_i \]

的方程组

首先，我们来讨论模数互质的：

对于这类问题应该怎么求解呢？

（果然我只是会背个板子）
首先，我们定义

\[M=\prod m_i \]

然后令$$M_i = \frac{M}{m_i}$$
定义$$t_i为M_i 在 mod\ m_i意义下的逆元$$
（这里求逆元可以使用exgcd来求）

则最终的解就是

\[ans=\sum_i{M_it_ia_i} \]

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long

using namespace std;

inline ll read()
{
  ll x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}

const int maxn = 210;

ll m[maxn],a[maxn];
ll n;
ll ans;
ll M=1;

void exgcd(ll &x,ll &y,ll a,ll b)
{
	if (b==0)
	{
		x=1;y=0;
		return;
	}
	exgcd(x,y,b,a%b);
	int tmp = x;
	x=y;
	y=tmp-a/b*y;
}

void crt()
{
   for (int i=1;i<=n;i++)
   {
   	  ll Mi=M/m[i];
   	  ll ti=0,y=0;
   	  exgcd(ti,y,Mi,m[i]);
   	  ans=(ans+Mi*ti%M*a[i]%M)%M;
   }
   while (ans<0)
   {
   	 ans+=M;
   }
}

int main()
{
  n=read();
  for (int i=1;i<=n;i++) m[i]=read(),a[i]=read(),M=M*m[i];
  crt();
  cout<<ans<<endl;
  return 0;
}

扩展中国剩余定理

那么如果模数不是互质的呢

这时候就需要拓展CRT了

对于

\[x \equiv a_1 \pmod {m_1} \]

\[x \equiv a_2 \pmod {m_2} \]

它等价于

\[x=a_1+k_1m_1 \]

\[x=a_2+k_2m_2 \]

联立之后，就能得到一个不定方程

\[k_1m_1-k_2m_2=a_2-a_1 \]

根据裴蜀定理，我们知道如果\(gcd(m_1,m_2) | (a_2-a_1)\)，那么这个方程就有整数解

则\(k_1=\frac{m_2}{g}t+k_1'\)

设最小正整数解为\(k_1'\)

那么\(x=a_1+k_1m_1=a_1+\frac{m_2}{g}tm_1+k_1'm_1\)

我们设\(a_1+k_1'm_1\)为x_0

那么\(x=x_0+\frac{m_1m_2}{gcd(m1,m2)}t\)

则新的方程就变成了$$x \equiv x_0 \pmod {lcm(m1,m2)}$$

引入一道例题
poj2891

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>

using namespace std;

inline long long read()
{
  long long x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}

const int maxn = 1e6+1e2;

long long m[maxn],a[maxn];
long long M;
long long ans;
long long x0;
long long gcd;
int n;

long long exgcd(long long &x,long long &y,long long a,long long b)
{
	if (b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	long long cnt=exgcd(x,y,b,a%b);
	long long tmp = x;
	x=y;
	y=tmp-a/b*x;
	return cnt;
} 

long long solve()
{
    x0=a[1];//x0表示从第一个式子开始，合并到当前点的前一个时a是多少 
    M=m[1];//M同x0 
    long long x=0,y=0;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
    	gcd=exgcd(x,y,M,m[i]);
    	if ((a[i]-x0)%gcd!=0) return -1;//判断不定方程的右边能不能整除gcd 
    	x=x*(a[i]-x0)/gcd;//扩大相应的倍数 
    	long long tmp = m[i]/gcd;
    	x=(x%tmp+tmp)%tmp;//根据特解公式，防止爆掉 
    	x0=x*M+x0;//求合并完的x0 
    	M=M*m[i]/gcd;
    	x0=x0%M;
	}
	x0=(x0+M)%M;
	return x0;
}
int main()
{
  while (scanf("%d",&n)!=EOF)
  {
  	for (int i=1;i<=n;i++)
  	  m[i]=read(),a[i]=read();
  	printf("%lld\n",solve());
  }
  return 0;
}