Miller-Rabin学习笔记
首先给出两个定理:
1.费马小定理
设p是一个素数,a是一个整数,且不是p的倍数,那么
\(a^{p−1} \equiv\ 1 \pmod p\)
2.二次探测定理
若\(p\)是素数,\(x\)是一个正整数,且\(x^2\ mod\ p\ =\ 1\),那么\(x \equiv \pm 1 \pmod p\)
QwQ经过验证,发现费马小定理的逆定理是不成立的,但是,我们可以运用费马小定理的逆否命题来筛掉一些素数,然后接着用二次探测定理来筛
设被测的数为n,取一个比n小的正整数a,设\(n-1=d\times 2^r\),若n是素数,则要么\(a^d\ mod\ n\ =\ 1\),要么存在一个i,满足\(0 \le i\ <\ r\)且$a^{d\times 2^i}\ \ mod\ \ n\ =\ -1\ $
算法实现的过程大致是:
对于要判断的数n
1.先判断是不是2,是的话就返回true。
2.判断是不是小于2的,或合数,是的话就返回false。
3.令n-1=u*2^t,求出u,t,其中u是奇数。
4.听亢神的话,将a选为2,7,61,24251就可以了!
根据费马小定理,如果a^(n-1)≡1(mod p)那么n就极有可能是素数,如果等式不成立,那肯定不是素数了
因为n-1=u*2t,所以a(n-1)=a(u*2t)=(au)(2^t)。
5.所以我们令x=(a^u)%n
6.然后是t次循环,每次循环都让y=(x*x)%n,x=y,这样t次循环之后x=a(u*2t)=a^(n-1)了
7.因为循环的时候y=(x*x)%n,且x肯定是小于n的,正好可以用二次探测定理,
如果(x^2)%n1,也就是y等于1的时候,假如n是素数,那么x1||x==n-1,如果x!=1&&x!=n-1,那么n肯定不是素数了,返回false。
8.运行到这里的时候x=a^(n-1),根据费马小定理,x!=1的话,肯定不是素数了,返回false
对每一个上述的底数,都做一遍 就可以了
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
ll a,k[10];
ll qsc(ll i,ll j,ll mod)
{
ll ans=0;
while (j)
{
if (j&1) ans=(ans+i)%mod;
i=(i+i)%mod;
j>>=1;
}
return ans;
}
ll qsm(ll i,ll j,ll mod)
{
ll ans=1;
while (j)
{
if (j&1) ans=(ans*i)%mod;
i=(i*i)%mod;
j>>=1;
}
return ans;
}
int t;
int n,m;
bool miller_rabin(ll x)
{
if (x==2 || x==7 || x==61 || x==24251) return true;
if (x==1) return false;
ll t = x-1,mi=0; //将x-1分解成t*2^mi
while (!(t&1))
{
t>>=1;
mi++;
}
for (int i=1;i<=4;i++)
{
ll a=k[i];
ll ymh = qsm(a,t,x); //a^t
for (int j=1;j<=mi;j++)
{
ll front = ymh;//ymh
ymh=qsc(ymh,ymh,x);//ymh^2 这里运用了二次探测定理
if (ymh==1 && front!=1 && front!=x-1) return false;
}
if (ymh!=1) return false; //费马小定理的逆否命题
}
return true;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
k[1]=2;
k[2]=7;
k[3]=61;
k[4]=24251;
while (m--)
{
ll x;
scanf("%lld",&x);
if (miller_rabin(x)) printf("Yes\n");
else printf("No\n");
}
return 0;
}