HAOI2012高速公路bzoj2752 （线段树，数学）
题目大意：
给定一个长度为n的链，一共m次操作
对于每次操作
\(C\ l\ r\ x\)表示将第l个点到第r个点之间的所有道路的权值增加v
\(Q\ l\ r\)在第l个到第r个点里等概率随机取出两个不同的点a和b，那么从a行驶到b将期望花费多少费用呢
QwQ我们可以考虑将期望分为分子和分母两部分
首先考虑分母，分母就是在\(r-l+1\)个点中选两个点的方案数，也就是\({r-l+1}\choose 2\)
而分子就是总权值了
对于一个在\([l,r]\)的点\(i\)来说
它会被计算\((i-l+1）\times (r-i+1)\)次 （就跟分别在左右两个区间枚举端点是一样的）
那么我们求的东西也就变成了
\(\sum_{i=l}^{r} w[i]\times(i-l+1)\times(r-i+1)\)
我们考虑将它展开：
\(\sum_{i=l}^{r} w[i]\times((r+l)\times i-i\times i +(r-l+1-r\times l))\)
再进一步来一波，对于区间\([l,r]\)我们就是求的是：
\(（r+l）\times \sum_{i=l}^{r}w[i]\times i + (r-l+1-r\times l)\times \sum_{i=l}^{r}w[i] + \sum_{i=l}^{r}w[i]*i^2\)
而对于更新，我们也不难找出一些规律了咯
所以对于一个区间，我们只需要维护一个\(w[i],w[i]*i,w[i]*i^2，i^2,i\)的sigma值就能处理更新和合并了！
void up(int root)
{
f[root].si=f[2*root].si+f[2*root+1].si;
f[root].sii=f[2*root].sii+f[2*root+1].sii;
f[root].scostii=f[2*root].scostii+f[2*root+1].scostii;
f[root].scosti=f[2*root].scosti+f[2*root+1].scosti;
f[root].scost=f[2*root].scost+f[2*root+1].scost;
}
void pushdown(int root,int l,int r)
{
ll mid = (l+r) >> 1;
if (add[root])
{
add[2*root]+=add[root];
add[2*root+1]+=add[root];
f[2*root].scost+=add[root]*(mid-l+1);
f[2*root+1].scost+=add[root]*(r-mid);
f[2*root].scosti+=add[root]*f[2*root].si;
f[2*root+1].scosti+=add[root]*f[2*root+1].si;
f[2*root].scostii+=add[root]*f[2*root].sii;
f[2*root+1].scostii+=add[root]*f[2*root+1].sii;
add[root]=0;
}
}
emmmmm
query的时候也记得\(\times\)的时候要乘询问的总区间，而不是当然区间！
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const int maxn = 1e5+1e2;
struct Node{
ll scost,scosti,scostii,si,sii;
ll ans;
};
Node f[4*maxn];
ll add[4*maxn];
int n,m;
ll count(int xx,int yy)
{
ll x=xx,y=yy;
return (y-x+1)*(y-x+2)/2;
}
void up(int root)
{
f[root].si=f[2*root].si+f[2*root+1].si;
f[root].sii=f[2*root].sii+f[2*root+1].sii;
f[root].scostii=f[2*root].scostii+f[2*root+1].scostii;
f[root].scosti=f[2*root].scosti+f[2*root+1].scosti;
f[root].scost=f[2*root].scost+f[2*root+1].scost;
}
void pushdown(int root,int l,int r)
{
ll mid = (l+r) >> 1;
if (add[root])
{
add[2*root]+=add[root];
add[2*root+1]+=add[root];
f[2*root].scost+=add[root]*(mid-l+1);
f[2*root+1].scost+=add[root]*(r-mid);
f[2*root].scosti+=add[root]*f[2*root].si;
f[2*root+1].scosti+=add[root]*f[2*root+1].si;
f[2*root].scostii+=add[root]*f[2*root].sii;
f[2*root+1].scostii+=add[root]*f[2*root+1].sii;
add[root]=0;
}
}
void build(int root,int l,int r)
{
if (l==r)
{
f[root].si=(long long)1LL*l;
f[root].sii=(long long) 1LL*l*l;
return;
}
int mid = (l+r) >> 1;
build(2*root,l,mid);
build(2*root+1,mid+1,r);
up(root);
}
void update(int root,int l,int r,int x,int y,ll p)
{
if (x<=l && r<=y)
{
ll len=r-l+1;
f[root].scost+=1LL*p*len;
f[root].scosti+=1LL*p*f[root].si;
f[root].scostii+=1LL*p*f[root].sii;
add[root]+=p;
return;
}
pushdown(root,l,r);
int mid = (l+r) >> 1;
if (x<=mid) update(2*root,l,mid,x,y,p);
if (y>mid) update(2*root+1,mid+1,r,x,y,p);
up(root);
}
ll query(int root,int l,int r,int x,int y)
{
if (x<=l && r<=y)
{
ll xx = x,yy=y;
return (long long)1LL*(xx+yy)*f[root].scosti+(long long)1LL*(yy-xx+1-xx*yy)*f[root].scost-f[root].scostii;
}
pushdown(root,l,r);
int mid = (l+r) >> 1;
ll ans=0;
if (x<=mid) ans+=query(2*root,l,mid,x,y);
if (y>mid) ans+=query(2*root+1,mid+1,r,x,y);
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
n--;
build(1,1,n);
for (int i=1;i<=m;i++)
{
char s[10];
scanf("%s",s+1);
if (s[1]=='C')
{
int x,y;
ll z;
scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
y--;
update(1,1,n,x,y,z);
}
if (s[1]=='Q')
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
y--;
ll tmp=query(1,1,n,x,y);
ll tmp1=count(x,y);
printf("%lld/%lld\n",tmp/__gcd(tmp1,tmp),tmp1/__gcd(tmp1,tmp));
}
}
return 0;
}
