Codeforces Round 948 (Div. 2)（A-D题解）

Codeforces Round 948 (Div. 2)

2024-05-26 —yimg

A

签到题

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void work()
{
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	if(n < m){
		cout << "NO\n";
		return;
	}
	if((n - m)&1){
		cout << "NO\n";
		return;
	}
	else{
		cout << "YES\n";
	}
}

int main()
{
	int t;
	cin >> t;
	while(t--)
		work();
}

B

题意：

将一个正整数x进行特殊的二进制分解， 构造出长度为n的数组a，满足

• $1\le n\le 32$

• $a_i=0or1or-1,0\le i\le n-1$

• $x=su{m}_{i=0}^{n-1}{a}_i\ast 2^i$

• $\nexists i\in [0,n-2],a_i\ne 0and{a}_{i+1}\ne 0$

思路：

正常的二进制分解我们很容易做到，可得到一个只含有0和1的数组a，本题多了一个限制条件

，不能有连续非0位，所以我们可以将连续的1位向高位进1，这段1的最低位补-1，值不变

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void work()
{
	int x;
	cin >> x;
	vector<int> a(35);
	int n = __lg(x);
	int cnt = 0;
	while(x){
		a[cnt++] = x&1;
		x >>= 1;
	}
	for(int i = 0; i <= n; ++i){
		if(a[i] == 0) {
			continue;
		}
		else{
			int p = i;
			for(; p <= n; ++p){
				if(a[p] == 0) break;
			}
			if(p == i + 1) continue;
			else{
				a[i] = -1;
				for(int j = i + 1; j < p; ++j)
					a[j] = 0;
				a[p] = 1;
				i = p - 1;
			}
		}
	}
	cout << 32 << '\n';
	for(int i = 0; i < 32; ++i){
		cout << a[i] << ' ';
	}
	cout << '\n';
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int t;
	cin >> t;
	while(t--)
		work();
}

C

题意：

给定数组a，为最长特殊子序列能有多长， $n\le 2000and{a}_i\le {10}^9$

定义特殊子序列为：此段子序列的lcm在数组a中没有出现过

思路：（枚举）

• 若原数组的lcm如果大于数组最大值，则答案为n

• 若原数组的lcm不大于n, 特殊子序列的lcm一定时原数组lcm的因子 ( 因为子lcm 是由 原lcm 去除一些因子得到的 )， 我们可以枚举因子，若此因子没有出现过，并且原数组可以有元素的lcm等于此因子，统计这些元素的个数，取个数的max即为答案， 枚举因子个数可以估算为$\sqrt[2]{a_i}$ 到 $\sqrt[3]{a_i}$，时间复杂度为$O(nd(a_i))$

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;
void work()
{
	int n;
	cin >> n;
	vector<int> a(n);
	for(int i = 0; i < n; ++i)
		cin >> a[i];
	i64 x = 1;
	for(int i = 0; i < n; ++i)
	{
		x = lcm(x, a[i]);
		if(x > 1e9){
			break;
		}
	}
	auto it = find(a.begin(), a.end(), x);
	if(it == a.end()){
		cout << n << '\n';
		return;
	}
	int ans = 0;
	auto check = [&](int d){
		if(find(a.begin(), a.end(), d) != a.end()){
			return;
		}
		int lc = 1;
		int cnt = 0;
		for(int i = 0; i < n; ++i){
			if(d % a[i] == 0){
				cnt++;
				lc = lcm(lc, a[i]);
			}
		}
		if(lc == d){
			ans = max(ans, cnt);
		}
	};
	for(int i = 1; i * i <= x; ++i){
		if(x%i == 0){
			check(i);
			check(x/i);
		}
	}
	cout << ans << '\n';
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int t;
	cin >> t;
	while(t--)
		work();
}

D

题意：

给定n * m 的01矩阵， 任意次行xor操作 ： 将一整行全部异或1

问特殊列最大能有多少列，并给出操作方案

思路：（枚举， 哈希）

• 令任意格（i， j) 为1，则此时操作序列一定

• 枚举每个格子为1时的操作序列， 将操作序列进行哈希， 统计每种操作序列的特殊列数

• 实现上， 可以令一列全操作为0， 在逐行分别异或为1， 统计最大答案

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
mt19937_64 rnd(time(0));
//mt19937_64 rnd(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
void work()
{
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	vector<vector<bool>> table(n, vector<bool>(m));
	for(int i = 0; i < n; ++i)
		for(int j = 0; j < m; ++j){
			char c; cin >> c;
			table[i][j] = c - '0';
		}
	vector<ll> rands(n);
	for(int i = 0; i < n; ++i) rands[i] = rnd();
	map<ll, int> num;
	int res = 0;
	pair<int, int> ans;
	for(int j = 0; j < m; ++j){
		ll summ = 0;
		for(int i = 0; i < n; ++i){
			if(table[i][j]){
				summ ^= rands[i];
			}
		}
		for(int i = 0; i < n; ++i){
			summ ^= rands[i];
			num[summ]++;
			if(res < num[summ]){
				res = num[summ];
				ans = {i, j};
			}
			summ ^= rands[i];
		}
	}
	cout << res << '\n';
	int x = ans.first, y = ans.second;
	for(int i = 0; i < n; ++i){
		if(i == x) cout << (table[i][y] ? 0 : 1);
		else cout << (table[i][y] ? 1 : 0);
	}
	cout << '\n';
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int t;
	cin >> t;
	while(t--)
		work();
}