非线性二分查找算法——一个突发奇想

前言

线性二分查找在查找目标数据的时候，每次都是进行二等分取区间。但是，当出现某种极端的情况时，这种查找就会显得比较低效。

本文将古典概率模型与线性二分查找算法结合，希望找到一种高效的非线性二分查找算法。

算法思想

我们认为，在每一次进行二分时，前面的二分方式，对本次二分是有影响的。举例来说，在进行一次二分查找时，在此之前查找的结果是【‘左’，‘左’，‘左’】亦或者【‘右’，‘右’，‘右’】。在这两种情形下，前者目标点靠近左端点的概率大幅增加，而后者目标点靠近右端点的概率大幅增加。另外一种情况是【‘左’，‘右’，‘左’，‘右’，‘左’，‘右’】，这说明目标点在下一次二分时，靠近两端的可能性并没有差别。还有一种情况是【‘左’，‘右’，‘左’，‘左’，‘左’】，这说明目标点在下一次二分时，靠近左端点的可能性大幅增加。

由此我们认为，在进行二分时，仅前面连续同符号的分类方式对下一次二分查找有影响。当前面连续同符号的分类方式不止一次时，下一次二分查找便不再采用等分的方式，而是向相应的端点靠近选取。

非线性二分点的确定

假设二分查找的总区间为mn，经过K次查找之后，下一次查找的区间为mq，下一次的二分点假设是p点，x0是的目标点。

 

我们希望二分点的位置p，使点x0落在mp段与pq段的概率相等。即：

P(x0 in mp | 前K次分类) = P(x0 in pq | 前K次分类)

而我们认为，只有前面连续同符号的分类方式对下一次二分查找有影响，因此应该为：

P(x0 in mp | 前K次连续同符号分类) =P(x0 in pq | 前K次连续同符号分类)

概率推导

经典的投币问题中，一个硬币连续出现n次，都是某一指定的面，那么这种情况出现的概率为（1/2）^n。

我们根据古典概率进行类推，前K次均为某一指定侧时，这种情况出现的概率为：

P（前K次均为某一指定侧） = （1/2）^K

为满足P(x0 in mp | 前K次连续同符号分类) = P(x0 in pq | 前K次连续同符号分类)，不妨设前K次连续同符号分类均为“左”，因此x0 应满足：

P(x0 in mp | 前K次连续同符号分类) = [1 - （1/2）^K] * mp = 0.5

P(x0 in pq | 前K次连续同符号分类) = （1/2）^K * pq = 0.5

简化取代方法

令 α = 本次分类前，连续同符号的分类方式次数

当α = 1时，即下一次分类并没有偏向，仍然采用等分的方式；

当α = 2时，我们将区间段划分为三等分段，选取α偏向的那一侧的等分点作为下一次二分点；

如下类似进行。