微分方程
需要学会求解的类型
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直接套公式法的一阶非齐次线性微分方程 -
特解十分难算的高阶常系数线性微分方程 -
可化简的其它类型
概念
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齐次方程与非齐次方程
(1). 齐次方程 \(:a_1*y^{(n)}+a_2*y^{(n-1)}+...+a_{n-1}*y'+a_n*y= 0,\) 相当于线性代数里面的\(AX=0.\)其中\(A_{n} =\begin{pmatrix}a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \end{pmatrix}, X =\begin{pmatrix}y^{(n)}\\y^{(n-1)}\\\vdots\\y\end{pmatrix},\) 由于通过\(y\)可以求出对应的\(y',y'',...,y^{(n)},\) 故微分方程求解即解出\(y\)的表达式
(2). 非齐次方程\(:a_1*y^{(n)}+a_2*y^{(n-1)}+...+a_{n-1}*y'+a_n*y= f_1(x)+f_2(x)+...+f_m(x)\\\space\)
相当于线性代数里面的\(AX=\beta,\) 其中\(\beta = g(x) =f_1(x)+...+f_m(x)\) -
通解和特解和全部解- 特解: 符合方程等式成立的任意一个解
- 通解: 符合方程等式成立的一群解
- 全部解: 不能遗漏任何一个是方程等式成立的解。
在方程的等式变形过程中可能会将\(y\)放到分母位置上, 从而导致丢掉部分解,直接得到的是通解。 通解加上 奇解 就是全部解
(1). 齐次和非齐次是和其它概念可以并存的, 例如\(y' + p(x)*y=q(x)\)为一阶线性非齐次微分方程,
朴实无华的公式法, 而\(y' + p(x)*y=0\)为一阶线性齐次方程, 也就是可分离变量类型的微分方程
(2). 对于齐次方程\(A_1X=0\)而言, 如果\(X_1^*\)是方程的一个特解, 且\(X_1^* \neq 0\),即满足\(A_1X_1^*=0\). 则乘上任意系数\(k\)后得到的\(kX_1^*\)仍然为\(A_1X=0\)的解, 也就是\(A_1(kX_1^*)=0\), 即齐次方程的通解= \(k\) *齐次方程的不为0的特解
(3)为了和上面的齐次方程做一个区分, 非齐次方程的变元使用\(Y\).
对于非齐次方程\(A_2Y = \beta\)的特解\(Y_2^*\), 即满足\(A_2Y_2^* = \beta\), 同时与之对应的齐次方程\(A_2Y=0\)的通解\(Y_1(=k_1X_1^*+k_2X_2^*+...+k_nX_n^*)\), 因为\(A_2(Y_1 + Y_2^*)=A_2Y_1+A_2Y_2^*=0+\beta=\beta\), 所以\(Y_1+Y_2^*\)为非齐次的通解(一片解), 即非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解 -
线性和非线性
(1). 线性方程: 例如从小学开始学习的\(3x+1=4\)和线性方程组\(\begin{cases}3x + 5y &= 1 \\7x - 2y &= 2\end{cases}\)
(2). 非线性方程: 高中解的最多的\(x^2+ 2x + 1 = 0\)或解析几何中的熟悉的联立\(\begin{cases}\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} &= 1 \\x - 2y &= 2\end{cases}\)线性方程是指
待求解的变量的最高幂次\(\leq\) 1的方程, 而非线性方程中待求解变量的最高幂次\(>\) 1
所谓待求解的变量和自己的选择有关,例如\(y' + x^2*y = x\)这里选择求解\(y,\) 那\(x^2\)作为系数,对于\(y\)而言的所有变量的幂次都没有超过1,所以是线性方程, 一般情况下非线性方程不可解, 考察的都是线性方程
计算求解
- 一阶微分方程:
公式法或左右两边同乘\(e^{p(x)}\) 化简方法:换元法和x,y位置互换- 高阶常系数线性微分方程:
解多项式(求齐次通解) +算子法(求非齐次特解)
换元法
\((1)u = \frac{y}{x}\rightarrow y=ux \rightarrow dy = u*dx + x*du\)
\((2)u=ax+by+c\rightarrow du = a*dx + b*dy\)
\((3)u=y' \rightarrow y'' = \frac{dy'}{dx} = \frac{du}{dx}=\begin{cases} u' & ,缺y可化简型; \\ \frac{du}{dy}*\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dy}*u &,缺x可化简型; \end{cases}\)
\((4)u=y^{1-n}或\frac{1}{y^{n-1}}\rightarrow du=\frac{1}{1-n}*y^{-n} \space\space\space\space\space\space\space\space\space伯努利方程\)
\((5)u==\begin{cases}Inx &, x>0\\ In(-x)&, x<0\end{cases}\space\space\space\space\space\space\space欧拉方程\)
\(x,y\)
位置互换个人认为不算一种具体的方法，而是一种思想。要注意可能会和换元法结合使用
算子法
求高阶非齐次线性微分方程的特解, 即\(y^*\)
首先约定两个符号\(D\)(求导)和\(\frac{1}{D}\)(积分). 此外\((D+1)y\)表示\(Dy+y\),即\(y'+y\), 而\(\frac{1}{D+1}y\)没有特别含义
计算特解有5种类型:
- 指数函数\(f(x) = e^{kx}\)
- 三角函数\(f(x) = sin(ax)\)
- 多项式\(P_n(x) = x^n + x^{n-1} + ... + x\)
- 指数函数 * 三角函数\(f(x) = e^{kx}*sin{(ax)}\) 和指数函数 * 多项式\(f(x)=e^{kx}*P_n(x)\)
- 三角函数 * 多项式\(f(x) = sin(ax)*P_n(x)\)
\(类型1: f(x) = e^{kx}\)
解决策略
- 将高阶导\(y^{(n)}\)写成\(D^{n}\), 解出\(y^* =\frac{1}{F(D)}f(x)\)
- 令\(D = k\),
- 如果不能令\(D=k\), 向前提取\(x\)后, 对\(D\)求导后再令
例题1
\(y''- 4y' + 3y = 2e^{(2x)}\)
解析:
\(D^2y-4Dy+3y=2e^{(2x)}\)
\(y^*= \frac{1}{(D^2-4D+3)} 2e^{(2x)}\space\space\space\space (y^*只是表示特解)\)
\(常数可以直接提前, 即y^*= 2\frac{1}{(D^2-4D+3)} e^{(2x)}\)
令\(D=k=2, y^* = 2*\frac{1}{2^2-4*2+3}e^{(2x)} = -2e^{(2x)}\)
例题2
\(y'' + 2y' -3y = e^{(-3x)}\)
解析:
\(D^2y+2Dy-3y=e^{(-3x)}\)
\(y^*= \frac{1}{(D^2+2D-3)} e^{(-3x)}\)
令\(D=k=-3, 此时y^* = \frac{1}{9-6-3}e^{(-3x)},此时分母为0, 即不可令D=k\)
\(所以此时y^*= \frac{1}{(D^2+2D-3)} e^{(-3x)}\xlongequal{对F(D)求导} x\frac{1}{2D+2}e^{(-3x)} = x\frac{1}{-4} e^{(-3x)} = -\frac{1}{4}xe^{(-3x)}\)
\(类型2: f(x) = sin(ax)或cos(ax)\)
解决策略
- 能令\(D^2 = -a^2\)则先令
- 没有\(D^2\),则分子分母同乘多项式凑出\(D^2\)后再令
- 有\(D^2\)但是不能令, 也就是令完之后分母为0, 一样提取\(x\)后求导再尝试
例题3
\(y'' - y = sinx\)
解析:
\(y^*= \frac{1}{D^2-1} sinx=\frac{1}{(-1)-1}sinx=-\frac{1}{2}sinx\)
例题4
\(y'' + 4y = cos(2x)\)
解析:
\(因为y^*= \frac{1}{D^2+4} cos(2x)=\frac{1}{(-4)+4}cos(2x)\)
\(所以y^* = x\frac{1}{2D}cos(2x) \xlongequal{常数可提取} \frac{x}{2}\frac{1}{D}cos(2x)\xlongequal{\frac{1}{D}f(x)表示对f(x)进行积分}\frac{x*sin(2x)}{4}\)
例题5
\(y'' - 6y' + 9y = cosx\)
解析:
\(y^* = \frac{1}{D^2 - 6D + 9}cosx\xlongequal{能令则令} \frac{1}{8-6D}cosx\xlongequal{没有要凑, 同乘多项式通分}\frac{8 + 6D}{64 - 36D^2}cosx\xlongequal{能令则令}\frac{1}{100}(8+6D)cosx\)
\(\xlongequal{多项式乘法,Df(x)表示求导}\frac{1}{100}(8*cosx -6sinx)\)
\(类型3: f(x) = P_n(x)多项式\)
解决策略:
- 使用无穷级数\(\frac{1}{1-q} = 1+q+q^2+...+q^n\), 展开到需要的阶数即可
例题6
\(y'' + y = -2x\)
解析:
\(y^* = \frac{1}{D^2 + 1}(-2x)\xlongequal{令q=-D^2}(1-D^2+...)(-2x)=-2x 这里的多项式为1阶, 实际上只需要展开到D即可,因为D^2x=0\)
例题7
\(y'' + y' = x^2\)
解析:
\(y^* = \frac{1}{D^2+D}x^2\)
\(此时分母中并没有1,所以缺啥补啥,用求极限常见的思路f(x) = f(x)+1-1\)
\(得到y^* = \frac{1}{1-(1-D^2-D)}x^2 =[1+(1-D^2-D)+(1-D^2-D)^2+...+(1-D^2-D)^n]x^2\)
\(可以看到即使对于(1-D^2-D)^n项, 展开之后仍然可以找到1+k_1D+k_2D^2,因此不能这么展开,否则无法终止\)
\(另外一种凑1的方法就是因式分解\frac{1}{D^2+D}x^2 = \frac{1}{D(D+1)}x^2 = \frac{1}{D}*\frac{1}{D+1}x^2\)
\(之后再处理\frac{1}{D+1}x^2=(1-D+D^2)x^2=x^2-2x+2, 最后处理\frac{1}{D}(x^2-2x+2)=\frac{1}{3}x^3-x^2+2x\)
\(类型4. f(x) = e^{kx}*g(x)\)
解决策略:
移位公式\(:\frac{1}{F(D)}e^{kx}g(x) = e^{kx}\frac{1}{F(D+k)}g(x)\)
之后按照\(g(x)\)的类型进行求解即可, 属于类型2,3里面重复的内容
\(类型5. f(x) = P_n(x)*sin(ax)或P_n(x)*cos(ax)\)
解决策略:
欧拉公式\(:e^{ix} = cosx + i*sinx\)
\(\frac{1}{F(D)}[P_n(x)sin(ax)] =Im \{\frac{1}{F(D)}[e^{(i*ax)}*P_n(x)]\}\)
\(\frac{1}{F(D)}[e^{(i*ax)}*P_n(x) \xlongequal{移位公式}e^{(i*ax)}\frac{1}{F(D+i*ax)}P_n(x),同上\)
\(Im\{\}\)表示对计算结果取虚部
