模和同余定理
一、什么是余数
在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数。我们在读小学二年级时，已经学了带余数的出发了，我们来温习一下。
通过做了这么多年除法，我们可以理解到，余数是指整数除法中被除数未被除尽部分，且余数的取值范围为0到除数之间（不包括除数）的整数，也就是说余数一定比除数小。一个数除以另一个数，要是比另一个数小的话，商为0，余数就是它自己。
二、余数的性质
- 余数和除数的差的绝对值要小于除数的绝对值（适用于实数域
被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；余数=被除数-除数×商。
- 如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
- a与b的和除以c的余数（a、b两数除以c在没有余数的情况下除外），等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
- a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
三、三大余数定理
- 加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
比如：
23÷5=4.....3
16÷5=3.....1
(23+16)÷5=7.....(4=3+1) - 乘法定理
a与b的积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之积，或这个积除以c的余数。
比如：
23÷5=4.....3
16÷5=3.....1
(23X16)÷5=73.....(3=3X1) - 同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对应模m同余，记为同余式a≡b (mod m)。由同余的性质，我们可以得到一个推论：若a、b同余，则a、b的差一定能被m整除，记为如果a≡b (mod m),那么一定有a-b=mk,k为整数。
四、模的理解
结合余数的定义、性质和同余定理，我们可以这样去理解：模就像是一个计量系统的计数范围，实质上是计量系统产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数。如时钟只能表示0~11点的数值，12则是该时钟的模，当值大于等于12时，则需要对时钟的模(12)进行取余运算，得到该计量系统的值。
还是以时钟计量系统位例，假设当前时针指向11点，而准确时间是8点，调整时间可有以下两种拨法：
- 一种是倒拨3小时，即：
11-3=8 - 另一种是顺拨9小时：
11+9=12+8=8
在以模为12的系统中，加9和减3效果是一样的，因此凡是减3运算，都可以用加9来代替。对“模”12而言，9和3互为补数（二者相加等于模）。
所以我们可以得出一个结论，即在有模的计量系统中，当某个值A, 需要做一个减法运算(A - B = X)，得到某个想要的结果X时。我们可以化减为加，使得A + C也能得到想要的结果X。那么B和C就是互为补数，他们相加得到的值就是该计量系统的模，减B和加C的行为是同余的，既(A - B) mod 模 = X ，(A + C) mod 模 = X。根据这个结论，我们就不难理解计算机系统采用补码来表示数值了。首先计算机存储有位数限制，比如8位、16位、32位等，那么不同位数的二进制的模等于2n,比如有符号位的8位整数，模为28=256，我们来求一下(-13)10的二进制补码，首先求补数 256-13=243，转为二进制1111 0011，即为(-13)10的补码。
