混合整数线性规划——分支限界法

当上一节讲到的线性规划问题中，要求某些变量是整数的时候，就变成了混合整数线性规划问题。

其实对于某些问题来说，线性规划问题的最优解刚好是整数，那么它对应的混合整数线性规划问题的解就刚好是这个最优解了。因此分支限界法的思路是，

1. 将原混合整数线性规划问题改进为行的松弛问题，不断地用单纯形法求解

2. 通过增加约束来进行分支求解

3. 直到整数最优解出现在新的改进后的松弛问题的一个顶点。

 

例如对于以下问题，

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\max 3x + y + 3z}\\
{2x + 2y + z \le 30}\\
{1.5x + 2y + 3z \le 25}\\
{2x + y + z \le 20}\\
{x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0,}
\end{array}\]

最优解obj=36.6667，x=7.7778，y=0，z=4.4444，怎么求它的整数最优解呢？

针对该线性松弛问题得到的最优解，选取非整数解的整数变量x，将原线性松弛问题分成两个子问题，其中一个子问题加上x≤7的约束，另一个子问题加上x≥8的约束。

针对x≤7的这个子问题，求得最优解为obj=35.5，x=7，y=0，z=4.8333。选取非整数解的整数变量z，将该问题拆成z≤4和z≥5的两个子问题。

针对z≤4的这个子问题，求得最优解为obj=34.25，x=7，y=1.25，z=4。选取非整数解的整数变量y，将该问题拆成y≤1和z≥2的两个子问题。

针对y≤1的这个子问题，求得最优解为obj=34，x=7，y=1，z=4。

按照上述步骤，求另外对应的子问题。

在分支过程中，当

1. 问题是不可满足的

2. 最优解是整数值

3. 松弛问题的最优值比当前最优值更差

无需深入探索，可以剪枝。

 

另由于是离散优化，所以解只可能取值一些整数。所以可利用约束条件之间的互相影响，缩小解的范围。从约束条件中得到尽可能多的信息。

 

 

参考：

https://www.coursera.org/lecture/lisan-youhua-suanfapian/3-3-2-hun-he-zheng-shu-xian-xing-gui-hua-PQhnK