ZJOI2015 地震后的幻想乡

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我们其实只需要边的相对的发小关系，我们只要知道这个边是第几就可以了，因为如果知道它是第几就知道权值期望是 $ \frac i {m+1} $

所以我们考虑这样一个dp， $ dp[S][i] $ 表示加入第 $ i $ 小的边权时 $ S $ 是联通的方案数。

由于一个显然的前缀和，我们知道答案其实就是

\[\sum_i \frac i {m+1} \times ( \frac {dp[S][i]}{\binom i m} - \frac{dp[S][i-1]}{\binom {i - 1} m} ) \]

但是这个 $ dp $ 咋推呢？我们可以类似 HDU5552 的做法来推，一样是算联通图的数量，所以可以一样算不联通图的数量，考虑 $ f[S][i] $ 表示 $ S $ 加入 $ i $ 边后不联通图的方案数量。

不联通图的方案可以一样套用那个题的做法，考虑固定一个点，并且由这个点连出一个联通图，并且剩下的点自己连，和这个点的联通图没得关系。

由于最后连成的图肯定是包含这个点的，所以可以不重不漏统计所有方案。于是我们可以写出方程：

\[f[S][i] = dp[T][j] + \binom {d[S \backslash T]} {i-j} \]

其中 $ T $ 是 $ S $ 的一个子集，并且固定的这个点在 $ T $ 里面， $ d[S] $ 表示 $ S $ 点集在图里的边的数量。

而且 $ f $ 和 $ dp $ 明显是互补的，所以和为 $ \binom {d[S]} {i} $。

这题就做完啦。

但是想想组合数可不可能太大导致爆炸了呢？发现这题组合数最大也就 $ C_{50}^{10} $ 这个级别（其实更小），才 $ 10^{11} $ 左右，很稳。

#include "iostream"
#include "algorithm"
#include "cstring"
#include "cstdio"
#include "vector"
using namespace std;
#define int long long
#define MAXN 12
#define chkmn( a , b ) ( (a) > (b) ? (a) = (b) , 1 : 0 )
#define chkmx( a , b ) ( (a) < (b) ? (a) = (b) , 1 : 0 )
int n , m;
long long dp[MAXN * MAXN][1 << MAXN] , f[MAXN * MAXN][1 << MAXN] , d[1 << MAXN];
vector<int> G[MAXN];
long long C[51][51];
signed main() {
    cin >> n >> m;
    C[0][0] = 1;
    for( int i = 1 ; i <= m ; ++ i ) {
        C[i][0] = 1;
        for( int j = 1 ; j <= i ; ++ j ) C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j];
    }
    for( int i = 1 , u , v ; i <= m ; ++ i ) {
        scanf("%lld%lld",&u,&v); G[u].push_back( v );
    }
    for( int i = 1 ; i < ( 1 << n ) ; ++ i)
        for( int j = 1 ; j <= n ; ++ j ) if( i & ( 1 << j - 1 ) )
                for( int v : G[j] ) if( i & ( 1 << v - 1 ) )
                        ++ d[i];
    for( int i = 1 ; i <= m ; ++ i ) dp[i][0] = 1;
    for( int s = 1 ; s < ( 1 << n ) ; ++ s ) {
        int ps = 0;
        for( int j = 1 ; j <= n ; ++ j ) if( s & ( 1 << j - 1 ) ) ps = j;
        for( int i = 0 ; i <= d[s] ; ++ i ) {
            for( int t = ( s - 1 ) & s ; t != s ; t = ( t - 1 ) & s ) {
                if( ~t & ( 1 << ps - 1 ) ) continue;
                for( int j = 0 ; j <= min( d[t] , i ) ; ++ j ) {
                    f[i][s] += dp[j][t] * C[d[s ^ t]][i - j];
                }
            }
            dp[i][s] = C[d[s]][i] - f[i][s];
        }
    }
    double res = 0.0;
    for( int i = 1 ; i <= m ; ++ i )
        res += 1.0 * i / ( m + 1 ) * ( 1.0 * dp[i][(1<<n) - 1] / C[m][i] - 1.0 * dp[i-1][(1<<n)-1] / C[m][i - 1] );
    printf("%.6lf",res);
}