数据库----数据依赖的公理系统

一，逻辑蕴含

　　定义：对于满足一组函数依赖F的关系模式 R <U,F>，其任何一个关系r，若函数依赖X→Y都成立（即r中任意两元组t、s，若t[X]=s[X]，则 t[Y]=s[Y]），则称F逻辑蕴涵X →Y。

 

二，Armstrong公理系统

　　A1　自反律：若Y ⊆ X ⊆ U，则X →Y 为F所蕴涵。

　　A2　增广律：若X→Y为F所蕴涵，且Z ⊆ U，则XZ→YZ 为F所蕴涵。

　　A3　传递律：若X→Y及Y→Z为F所蕴涵，则X→Z 为F所蕴涵。

　　

　　合并规则：由X→Y，X→Z，有X→YZ。

　　　　证明：由 X→Y 根据 A2：XX→YX 得 X→YX

　　　　　　　由 X→Z 根据 A2：XY→ZY 

　　　　　　　由X→YX，YX→YZ 根据A3：X→YZ

 

　　伪传递规则：由X→Y，WY→Z 有：XW→Z。

　　　　证明：由 X→Y 根据 A2 ：XW→YW

　　　　　　　由 XW→YW ，WY→Z 根据  A3 ：XW→Z

 

　　分解规则：由X→Y，Z⊆Y，有X→Z

　　　　证明：由Z⊆Y 根据 A1 ：Y→Z

　　　　　　　由X→Y ，Y→Z 根据A3：X→Z

 

三，Armstrong公理系统的有效性，完备性

　　Armstrong公理的有效性指：由F出发根据Armstrong公理推导出来的每一个函数依赖一定在F⁺中；完备性是指F⁺中的每一个函数依赖，必定可以由F出发根据Armstrong公理推导出来。

 

四，函数依赖集的闭包

　　算法：① 令X⁽⁰⁾=X，i=0

　　　　　②求B，这里B ={ A |( ∃ V)( ∃ W)(V→W∈F ∧V ⊆ X⁽ⁱ⁾∧A ∈ W)}

　　　　　③X⁽ⁱ⁺¹⁾=B∪X⁽ⁱ⁾ 

　　　　　④判断X⁽ⁱ⁺¹⁾= X⁽ⁱ⁾ 。 若X⁽ⁱ⁺¹⁾与X⁽ⁱ⁾相等或X⁽ⁱ⁾=U ，则X⁽ⁱ⁾就是X_F⁺， 算法终止。

　　　　　⑤若否，则i=i+1，返回第②步。

 

　　例：U={A，B，C，D，E}，F={AB→C，B→D，C→E，EC→B，AC→B}。求（AC）_F⁺ ，（C）_F⁺

　　（AC）_F⁺ ：X⁽⁰⁾={AC}

　　　　　　　  X⁽¹⁾={AC}∪{E，B}  根据C→E，AC→B

　　　　　　  　X⁽²⁾={ABCE}∪{D}  根据B→D

　　　　　　　  X⁽²⁾=U 算法终止

　　（C）_F⁺ ：X⁽⁰⁾={C}

　　　　　　    X⁽¹⁾={C}∪{E}  根据C→E

　　　　　　    X⁽²⁾={CE}∪{B}  根据EC→B

　　　　　　    X⁽³⁾={BCE}∪{D} 根据B→D

　　　　　　　X⁽³⁾=X⁽⁴⁾ 算法终止

 

（未完待续...）