5-非理想导体情形下的传输线特性

Nonideal Conductor Models

1. 在非闭合导体中传播的信号

1.1 传播常数

从Maxwell‘s Equations可以导出如下旋度方程：

更进一步的，可以将介电常数展开成频变的

这里方程等号右边的项整体会被视作$\gamma^{2}$,由于该项前面的$j\omega$,括号内的虚部最终会导致信号的衰减，实部会导致相位常数的变化。

对于一个金属导体来说，介质损耗是不存在的，因此可以得到传播常数：

1.2 趋肤深度

将频域下在金属导体中传播的波函数转换成时域形式，可以得到：

趋肤深度的定义就是当电磁波的赋值衰减为$e^{-1}$时对应的深度，对于良导体来说，有

从而可以推导出趋肤深度为：

2. 传输线的经典导体模型

2.1 直流损耗 （DC Resistance）

经典的电阻公式：

2.2 频变损耗 (AC Resistance)

2.2.1对于微带线来说

• 对于趋肤深度近似的讨论

• 电阻曲线

可以看到电阻曲线先不变，然后会产生一个跳变。但在现实中，这种跳变是不存在的，采用平方开根号的方法来平滑曲线：

除了信号线之外，地的电阻也应当被考虑。

地上的电流密度满足上述关系，可以看到h越小d的系数就越大，电流密度随着位置远离中心点变化也越剧烈，说明电流越集中。通常选取w=6h去计算地上的电阻：

所以微带线的完整的交流电阻应为：

2.2.2 Stripline

将Stripline看成是两个微带线并联，其电阻就可使用电路的知识得到：

2.3 频变电感

趋肤效应的另一个结果：导致频变的电感值。

在低频时，电流分布在整个导体内，高频时电流由于趋肤深度被挤到导体表面。

根据电感的定义：

随着loop的减小，电感值会受到影响。

完整的电感值可以被分为两个方面，其数学表达式为：

对于良导体来说，位移电流可以忽略不计，因此，磁场的旋度定理可以被简化为：

结合电场的旋度定理，利用双叉乘恒等式可得二阶偏微分方程：

设定J沿着z方向，偏微分只对x作偏导，可以得到：

完整的电流可以使用积分积出来：

从而可以引出一个表面阻抗的概念：

从（5-28）这个式子中我们可以看到，表面阻抗的实部和虚部是一样的，其可以有另一种表达形式：

令（5-28）和（5-29）相等，可以得到：

至于Lexternal,利用传输线的特征阻抗和相速度可以求得：

2.4 良导体表面吸收的功率

3. 粗糙度对损耗的影响

当趋肤深度和粗糙度的齿深接近时，对损耗的影响比较大。从电阻的角度来说等效的电流路径变长了，从而导致电阻变大，损耗变大。

总之总的趋势就是损耗会变大，粗糙度越高，损耗相比于光滑金属导体就越大。

4. 非理想导体传输线的一些参数

• 对应的电报方程：