【数学】三分法

Definition

当一个函数$f(x)$满足在区间在区间$[l,r]$内有且仅有一个$x~\in~[l,r]~,~s.t.~~f(x)$在$[l,x]$内单调严格递增，在$[x,r]$内单调严格递减，则说$f(x)$在$[l,r]$内是一个单峰函数，求出单峰点$x$的算法为三分法。

Solution

考虑对一个区间$[l,r]$，取三等分点，记做$midl$和$midr$。不妨设$midl~<~midr$，则若$f(midl)~\leq~f(midr)$，则单峰点一定在区间$[midl，r]$范围内。反之单峰点一定在区间$[l,midr]$范围内。

证明：

首先设$f(midl)~<~f(midr)$，

以下说明$midl$一定不在单峰点右侧。

若$midl$在单峰点右侧，则$\forall~x_0~\in~(midl,r]$，都有$f(x_0)~<~f(x)$。因为$midr~>~midl$且$f(midr)~>~f(midl)$，于是产生矛盾。故可说明$midl$一定不再单峰点右侧。

当$f(midl)~>~f(midr)$时，证明同上。

再设$f(midl)~=~f(midr)$，

以下说明单峰点一定在$[midl,midr]$之间

假设$midl$和$midr$同在单峰点一侧，则$f(x)$在区间$[midl,midr]$上严格单调，而$f(midl)~=~f(midr)$，产生矛盾。于是单峰点一定在$[midl,midr]$之间。

证毕

于是在$[l,r]$内取两个三等分点(在代码中使用黄金分割点)，比较两点函数值大小，对函数值较小的一侧缩小区间即可。

Example

传送门

Description

给出一个$N$次函数，保证在范围$[l,r]$内存在一点$x$，使得$[l,x]$上单调增，$[x,r]$上单调减。试求出$x$的值。

Input

第一行一次包含一个正整数N和两个实数$l,r$，含义如题目描述所示。

第二行包含$N+1$个实数，从高到低依次表示该$N$次函数各项的系数。

Output

输出为一行，包含一个实数，即为$x$的值。四舍五入保留5位小数。

Hintt

$forall:$

$7~\leq~n~\leq~13~,~|A_i|~<10$。其中$|A_i|$为系数

Solution

板子题要啥solution

Code

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long

typedef long double ldb;
typedef long long int ll;

template <typename T>
inline void qr(T &x) {
	rg char ch=getchar(),lst=' ';
	while((ch > '9') || (ch < '0')) lst=ch,ch=getchar();
	while((ch >= '0') && (ch <= '9')) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	if(lst == '-') x=-x;
}

namespace IO {
	char buf[120];
}

template <typename T>
inline void qw(T x,const char aft,const bool pt) {
	if(x < 0) {x=-x,putchar('-');}
	rg int top=0;
	do {IO::buf[++top]=x%10+'0';} while(x/=10);
	while(top) putchar(IO::buf[top--]);
	if(pt) putchar(aft);
}

inline void readldb(long double &x) {
	double _temp;
	scanf("%lf",&_temp);
	x=_temp;
}

inline void printldb(const long double &x) {
	double _ret=x;
	printf("%.5lf\n",_ret);
}

const int maxn = 20;
const long double eps = 1e-10l;
const long double mul = 0.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911374l;

int n;
ldb MU[maxn];

ldb ask(ldb);

int main() {
	qr(n);
	ldb l,r;readldb(l);readldb(r);
	for(rg int i=0;i<=n;++i) readldb(MU[i]);
	while((r-l) >= eps) {
		ldb midl=r-(r-l)*mul,midr=l+(r-l)*mul;
		ldb ansl=ask(midl),ansr=ask(midr);
		if(ansl >= ansr) r=midr-eps;
		else l=midl+eps;
	}
	printldb(l);
	return 0;
}

ldb ask(ldb x) {
	ldb _ret=0,_dx=1;
	for(rg int i=n;~i;--i) _ret+=MU[i]*_dx,_dx*=x;
	return _ret;
}

Summary

当且仅当在单峰点两侧严格单调才能作为单峰函数处理。