【神仙题】【CF28D】 Don't fear, DravDe is kind
Description
一个有N辆卡车的车队从城市Z驶向城市3，来到了一条叫做“恐惧隧道”的隧道。在卡车司机中，有传言说怪物DravDe在那条隧道里搜寻司机。有些司机害怕先走，而其他人则害怕后走。但让我们考虑一般情况，每辆卡车用四个数字描述：
•v，卡车的价值，包括乘客和货物
•c，乘客数量，包括司机本人
•l，当前辆卡车之前应该进入的隧道的总人数，这样，当前司机就可以克服他的恐惧（如果怪物出现在那辆车前面，它会先吃掉他们）
•r，当前辆卡车之后应该进入的隧道的总人数，这样，当前司机就可以克服他的恐惧（如果怪物出现在那辆车后面，它会先吃掉他们）
由于路面很窄，如果 DravDe 一旦出现，就不可能逃离。此外，车队不能重新安排。卡 车的顺序是不能改变的，但是有卡车会停留在隧道附近无限期。你，作为车队的头儿，应该 把一些卡车移走（是的，忽略这些卡车的价值），这样车队的其余部分可以通过隧道。求移 走一些卡车后，剩余卡车的总价值最大是多少。
Input
第一行是卡车个数\(n\)
下面\(n\)行，每行四个数，按照上述顺序给出卡车的四个参数
Output
共输出两行。第一行输出代表价值最大时剩余的卡车数量
第二行输出被选择的卡车编号。任意输出一种即可
Hint
\(0~\leq~v~\leq~10^4\)，\(0~\leq~\)其他参数\(\leq~10^5\)
Solution
经过一番深思熟虑，我们发现对于同时被选择的两辆车，总的人数应该是\(c+r+l\)。于是得出结论，被同时选择的车上述参数和应该相同。
于是这告诉我们只有满足上述条件才能更新答案，以及对于一辆车，他所在的被选择的序列的人数应该是固定的。
显然这是一个线性DP。于是有转移方程\(f_i=\max\{f_j\}+v_i\)，其中满足\(j\)的参数和与\(i\)相同，同时因为\(j\)在\(i\)的前面，于是有\(l_j+c_i=l_i\)。按照这个方程即可进行转移。每枚举到一个\(r=0\)的位置就可以更新答案。
Code
#include<map>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long
typedef long long int ll;
template <typename T>
inline void qr(T &x) {
rg char ch=getchar(),lst=' ';
while((ch > '9') || (ch < '0')) lst=ch,ch=getchar();
while((ch >= '0') && (ch <= '9')) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
if(lst == '-') x=-x;
}
namespace IO {
char buf[120];
}
template <typename T>
inline void qw(T x,const char aft,const bool pt) {
if(x < 0) {x=-x,putchar('-');}
rg int top=0;
do {IO::buf[++top]=x%10+'0';} while(x/=10);
while(top) putchar(IO::buf[top--]);
if(pt) putchar(aft);
}
template <typename T>
inline T mmax(const T a,const T b) {return a > b ? a : b;}
template <typename T>
inline T mmin(const T a,const T b) {return a < b ? a : b;}
template <typename T>
inline T mabs(const T a) {return a < 0 ? -a : a;}
template <typename T>
inline void mswap(T &_a,T &_b) {
T _temp=_a;_a=_b;_b=_temp;
}
const int maxn = 400010;
struct M {
int v,c,l,r,sum,pos;
inline bool operator<(const M &_others) const {
if(this->sum != _others.sum) return this->sum < _others.sum;
return this->pos < _others.pos;
}
};
M MU[maxn];
int n,ans;
int frog[maxn],pre[maxn],pcnt[maxn];
std::map<int,int>mp[maxn];
void dfs(ci);
int main() {
qr(n);
for(rg int i=1;i<=n;++i) {
M &now=MU[i];
qr(now.v);qr(now.c);qr(now.l);qr(now.r);
now.sum=now.c+now.l+now.r;now.pos=i;
}
std::sort(MU+1,MU+1+n);
for(rg int i=1;i<=n;++i) {
int k;
if(!MU[i].l) {
frog[i]=MU[i].v;pcnt[i]=1;
}
else if((k=mp[MU[i].sum][MU[i].l]) != 0) {
frog[i]=frog[k]+MU[i].v;pre[i]=k;pcnt[i]=pcnt[k]+1;
}
if(frog[i] && (frog[i] > frog[mp[MU[i].sum][MU[i].c+MU[i].l]])) mp[MU[i].sum][MU[i].l+MU[i].c]=i;
if(!(MU[i].r) && (frog[ans] < frog[i])) ans=i;
}
qw(pcnt[ans],'\n',true);
dfs(ans);putchar('\n');
return 0;
}
void dfs(ci x) {
if(!x) return;
dfs(pre[x]);
qw(MU[x].pos,' ',true);
}
Summary
在DP转移时，可以通过代数恒等式证明出一种正确的转移方法。
