【数学】NOIP数论内容整理

NOIP数论内容整理

注：特别感谢sdsy的zxy神仙以及lcez的tsr筮安帮助审稿

一、整除：

对于$a,b~\in~Z$，若$\exists~k~\in~Z$,$s.t.~b~=~k~\times~a$，则说$a$整除$b$，记做$a~|~b$

二、带余除法：

$~\forall~a,b~\in~z$存在且仅存在唯一的$q,r~\in~Z^*$，$s.t.~b~=~q~\times~a+r$，其中$r~\in~[0,a)$。记做$r~=~b~Mod~a$。

三、公约数

设$a,b~\in~Z$，若$~\exists~k,x,y~\in~Z^*$，$s.t.~a~=k~\times~x,b~=~k~\times~y$，则说$k$是$a,b$的公约数。公倍数同理。

四、$gcd$与$lcm$

记$a,b$的最大公约数为$gcd(a,b)$，最小公倍数为$lcm(a,b)$

五、最大公约数与最小公倍数乘积性质定理

性质：$a~\times~b=gcd(a,b)~\times~lcm(a,b)$

六：最大公约数的求取：(以下不妨设$b~\leq~a$)

更相减损术：$gcd(a,b)~=~gcd(b,a-b)$

欧几里得算法：$gcd(a,b)~=~gcd(b,a~Mod~b)$

其中，更相减损术的复杂度是$O(n)$，欧几里得算法的复杂度是$O(logn)$。其中$n~=~\max(a,b)$

七：更相减损术的优化

引理：$\forall~m~\neq~0,~a,b~\in~Z$，有$m~\times~gcd(a,b)=gcd(ma,mb)$

当$a,b$是两个偶数时，显然$gcd(a,b)$有一因数$2$。于是$gcd(a,b)~=~2~\times~gcd(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$

当$a,b$一奇一偶的时候，不妨设$a$是偶数。显然$gcd(a,b)$不含因子$2$。于是有$gcd(a,b)=gcd(\frac{a}{2},b)$

当$a,b$同为奇数时，直接应用更相减损术。$gcd(a,b)=gcd(b,a-b)$。

考虑两个奇数相减答案显然是偶数。于是一次更相减损术显然对应一个数除以2的操作。即更相减损的次数与除以二的操作次数同阶。考虑一个数最多被除$log$次。于是该算法的复杂度为$O(logn)$。

该算法常用在对两个高精度数求$gcd$，因为两个高精度数做除法的复杂度难以承受，从而应用该算法。

八、例题：

给定一个序列，要求支持区间加法。多次查询区间内所有数字的$gcd$。$n,m,a_i~\leq~10^5$

Solution:

因为区间加法无法维护$gcd$，所以显然不能暴力线段树。考虑对原序列做差分。由更相减损定理，显然成立$gcd(a,b,c)~=~gcd(a,b-a,c-b)$。于是差分后区间加法改为单点修改操作。于是一次操作的复杂度为$O(log^2n)$。总时间复杂度为$O\left(m\log^2n\right)$，可以通过本题。

九、扩展欧几里得算法

裴蜀定理：关于$x,y$的方程$ax+by=c$有解当且仅当$gcd(a,b)|c$。

求关于$x,y$的方程$ax+by=c$的一组整数解。

不妨设$c=gcd(a,b)$。否则左侧乘一常数$k$，不失一般性

根据欧几里得算法，有

$$gcd(a,b)=gcd(b,a~Mod~b)$$

于是有

$$ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a~Mod~b)=bx_0+(a~Mod~b)y_0$$

于是有

$$\begin{align} ax+by & = bx_0+(a-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor~\times~b)y_0\\ & = ay_0+b(x_0-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor~y_0) \\ \end{align}$$

根据对应系数相等，显然有$x=y_0,y=x_0-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor~y_0$。考虑他的一组特解：当$b=0$时，显然$x=1,y=0$成立。

求上述方程的所有解

假设求出的该方程的一组特解$x=x_0,y=y_0$，则该方程的所有解为$x=x_0+\frac{k~\times~b}{gcd(a,b)},y=y_0-\frac{k~\times~a}{gcd(a,b)}$。

十、素数：

有且仅有$1$和本身两个因子的数是素数

十一、埃拉托色尼筛法：

对每个数只筛掉它的倍数。

int pcnt;
int prime[maxn];
bool is_not_prime[maxn];

void Get_Prime(int x) {
	is_not_prime[1]=true;
	for(int i=1;i<=x;++i) if(!is_not_prime[i]) {
		prime[++pcnt]=i;
		for(int j=i*i;j<=x;j+=i;) is_not_prime[j]=true;
	}
}

十二：欧拉筛法

对每个数只被他的最小素因子筛掉

int pcnt;
int prime[maxn];
bool is_not_prime[maxn];

void Get_Prime(int x) {
	is_not_prime[1]=true;
	for(int i=2;i<=x;++i) {
		if(!is_not_prime[i]) prime[++pcnt];
		for(int j=1;j<=pcnt;++j) {
			if(i*prime[j] > x) break;
			is_not_prime[i*prime[j]]=true;
			if(!(i%prime[j])) break;
		}
	}
}

十三：在$O(nlogn)$时间内筛除$n$以内所有数的素因子

对于每个数记录自己的最小素因子。对于第每个数，迭代将每个数除以自己的最小素因子。

int pcnt;
int prime[maxn],pre[maxn];
bool is_not_prime[maxn];

void Get_Prime(int x) {
	is_not_prime[1]=true;
	for(int i=2;i<=x;++i) {
		if(!is_not_prime[i]) prime[++pcnt],pre[i]=pcnt;
		for(rg int j=1;j<=pcnt;++j) {
			if(i*prime[j] > x) break;
			is_not_prime[i*prime[j]]=true;
			pre[i*prime[j]]=j;
			if(!(i%prime[j])) break;
		}
	}
}

void ans(int x) {
	for(int i=1;i<=x;++i) {
		printf("%d:",i);
		int di=i;
		while(di != 1) printf("%d",prime[pre[di]]),di/=prime[pre[di]];
		putchar('\n');
	}
}

十四、唯一分解定理：

$\forall~x~\in~Z^*$，存在且仅存在一个形如$x=p_1^{c_1}~p_2^{c_2}~...~p_k^{c_k}$的等式。其中满足$p_i ~<~p_{i+1},p_i$为质数，$c_i~\in~Z$

则对于$a,b$的$gcd,lcm$，其唯一分解式对应位置的指数取$\min,\max$即为对应的$gcd,lcm$的唯一分解式

十五、欧拉phi函数：

定义：$\phi(n)$为$[1,n)$中与$n$互质的数的个数

$\phi(n)~=~n~(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})$

其中$p_i$为$n$的唯一分解式对应底数。

证明：不妨设$n$只有$p,q$两个因数。否则做数学归纳

则与$n$互质的数的个数为$n$减去$p$的倍数和$q$的倍数。根据容斥原理，应加回$(pq)$的倍数。即

$$\begin{align} \phi(n) & = ~n-\frac{n}{p}-\frac{n}{q}+\frac{n}{pq}\\ & = ~n\left(1-\frac{1}{p}-\frac{1}{q}-\frac{1}{pq}\right)\\ & = ~n\left(1-\frac{1}{p}\right) \left(1-\frac{1}{q}\right) \end{align}$$

对于$n$有更多因数的情况，可以依据唯一分解定理做数学归纳。证毕。

求单个数字的$\phi$函数：

暴力枚举质因数。复杂度$O(\sqrt{n})$

埃拉托色尼筛法：

对每个质数，修改他的倍数的$phi$函数值

int pcnt;
int prime[maxn],phi[maxn];
bool is_not_prime[maxn];

void euler(int x) {
	for(int i=1;i<=x;++i) phi[i]=i;
	for(int i=2;i<=x;++i) if(!is_not_prime[i]) {
		prime[++pcnt]=i;phi[i]=i-1;
		for(rg int j=i*i;j<=x;j+=i) {
			is_not_prime[j]=true;
			phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
		}
	}
}

欧拉筛：

对每个数，只被他的最小质因子筛掉。

考虑通过一个质因子求出他的欧拉函数值。

引理：$\forall x$为质数，显然$\phi(x)=x-1$。

定理一：$\forall~x~\in~Z^*,p|x$，若$\frac{x}{p}$与$p$不互质，则$\phi(x)=\phi(\frac{x}{p})~\times~p$

证明：

不妨设 $x$ 有且仅有 $p,q$ 两个质因子，否则对$q$做数学归纳，不失一般性

则 $q~=~\frac{x}{p}$

于是由容斥原理有

$$\phi(x)~=~x~-~\frac{x}{p}~-~\frac{x}{q}~+~\frac{x}{pq}$$

$$\phi(\frac{x}{p})~=~\frac{x}{p}~-\frac{x}{p^2}~-~\frac{x}{pq}+~\frac{x}{p^2q}$$

上式除以下式，得

$$\frac{\phi(x)}{\phi\frac{x}{p}}=p$$

移项整理后，原式得证。

证毕。

定理二：$\forall~x~\in~Z^*,p|x$，若$\frac{x}{p}$与$p$互质，则$\phi(x)=\phi(\frac{x}{p})~\times~(p-1)$

证明：

易证$phi$函数为积性函数。因为$\frac{x}{p}$与$p$互质，于是$\phi(x)=\phi(\frac{x}{p})~\times~\phi(p)$

又因为$p$是一个质数，于是根据引理，$\phi(p)=p-1$。

原式得证。

证毕。

于是对于每个数，若他是质数，则应用引理，否则在筛时，若最小质因子与他互质，则应用定理二，否则应用定理一。

int pcnt;
int prime[maxn],phi[maxn];
bool is_not_prime[maxn];

void euler(int x) {
	phi[1]=1;
	is_not_prime[1]=true;
	for(int i=1;i<=x;++i) {
		if(!is_not_prime[i]) prime[++pcnt]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=pcnt;++j) {
			if(i*prime[j] > x) break;
			is_not_prime[i * prime[j]]=true;
			if(!(i%prime[j])) {phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
}

十六、模方程：

定义：$\forall a,b ~\in~Z$，若$a~Mod~m~=~b~Mod~m$ 则称作$a,b$在模$m$域下同余。记做$a~\equiv~b~(Mod~m)$。

同余式两边支持同时加、减、乘同一个数字，但不支持除法。

十七、模逆元：

$\forall~a~\in~Z$，若$\exists~x~\in~Z,s.t.~ax~\equiv~1~(Mod~m)$则称$x$是$a$在模$m$域下的逆元。在模$m$域下，任何一个整数除以$a$完全等价于乘$x$。

一般而言，$m$为质数是$a$存在逆元的充分条件

十八、逆元的求法

单个数求逆元

解方程$ax~\equiv~1~(Mod~m)$，发现等价于$ax+km=1$。直接使用$exgcd$求得答案即可。

线性筛逆元：

记$x$的逆元为$x^{-1}$，数组表示为$inv_x$

则有线性递推式：$inv_i~=~(-\left\lfloor\frac{m}{i}\right\rfloor~\times~inv_{m~Mod~i}+m)~Mod~m$

证明：

对于所有的$i$，写出他的带余除法表达式：

$$m~=~ki~+~r,r~\in~[0,i)$$

在$Mod~m$域下有：

$$ki~+~r~\equiv~0~(Mod~m)$$

等式两侧同乘$i^{-1}~\times~r^{-1}$

化简，整理得到：

$$i^{-1}~\equiv~-kr^{-1} (Mod m)$$

因为$k~=~\left\lfloor\frac{m}{i}\right\rfloor$，原式得证。

int inv[maxn];

void Get_inv(int x,int p) {
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=x;++i) inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
}