【数论数学】【P2152】【SDOI2009】Super GCD
Description
Sheng bill有着惊人的心算能力，甚至能用大脑计算出两个巨大的数的GCD（最大公约 数）！因此他经常和别人比赛计算GCD。有一天Sheng bill很嚣张地找到了你，并要求和你比 赛，但是输给Sheng bill岂不是很丢脸！所以你决定写一个程序来教训他。
Input
共两行： 第一行：一个数A。 第二行：一个数B。
Output
一行，表示A和B的最大公约数。
Sample Input
12
54
Sample Output
6
Hint
对于100%的数据，0 < A , B ≤ 10 ^ 10000。
Solution
如果你觉得这是个裸的gcd的话，你会发现高精度乘除取余在这么大的位数下就是找死。考虑使用高精度运算复杂度更低的更损相减法。但是朴素的更损相减法是\(O(n)\)的。需要进行优化。
考虑对于两个数\(a,b\)两数共可能出现以下情况：
（不妨设\(a>b\)）
1、\(a\)是偶数，\(b\)不是。那么\(gcd(a,b)=gcd(\frac{a}{2},b)\)。
2、\(a\)不是偶数，\(b\)是。那么\(gcd(a,b)=gcd(a,\frac{b}{2})\)。
3、\(a,b\)都是偶数，那么\(gcd(a,b)=2~\times~gcd(\frac{a}{2},\frac{b}{2})\)。
4、\(a,b\)都不是偶数，那么应用更损相减法，\(gcd(a,b)=gcd(b,a-b)\)。
考虑这么做的复杂度。当两个数是奇数的时候，需要更损相减法，两个奇数做差的答案是一个偶数。每次其中一个数除二后最多做一次更损相减。
考虑一个数除二的最大次数是\(logn\)的。所以优化后更损相减部分的复杂度是\(O(logn)\)的。
Code
// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long int
typedef long long int ll;
namespace IO {
char buf[50];
}
template<typename T>
inline void qr(T &x) {
char ch=getchar(),lst=' ';
while(ch>'9'||ch<'0') lst=ch,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
if (lst=='-') x=-x;
}
template<typename T>
inline void write(T x,const char aft,const bool pt) {
if(x<0) {putchar('-');x=-x;}
int top=0;
do {
IO::buf[++top]=x%10+'0';
x/=10;
} while(x);
while(top) putchar(IO::buf[top--]);
if(pt) putchar(aft);
}
template <typename T>
inline T mmax(const T a,const T b) {if(a>b) return a;return b;}
template <typename T>
inline T mmin(const T a,const T b) {if(a<b) return a;return b;}
template <typename T>
inline T mabs(const T a) {if(a<0) return -a;return a;}
template <typename T>
inline void mswap(T &a,T &b) {T temp=a;a=b;b=temp;}
struct Bignum {
short int num[10010],len;
void clear() {memset(num,0,sizeof num);len=0;}
void operator-=(const Bignum &others) {
for(rg int i=1;i<=this->len;++i) {
this->num[i]-=others.num[i];
while(this->num[i]<0) {
this->num[i]+=10,--this->num[i+1];
}
}
while(!this->num[this->len]) --this->len;
if(!this->len) ++this->len;
}
bool operator!=(const Bignum &others) {
if(this->len!=others.len) return true;
for(rg int i=1;i<=this->len;++i) if(this->num[i] != others.num[i]) return true;
return false;
}
bool operator<(const Bignum &others) {
if(this->len!=others.len) return this->len<others.len;
for(rg int i=len;i;--i) if(this->num[i]!=others.num[i]) return this->num[i]<others.num[i];
return false;
}
Bignum operator*(const Bignum &others) {
Bignum _ans;_ans.clear();
int llen=this->len+others.len+5;
for(rg int i=1;i<=this->len;++i) {
for(rg int j=1;j<=others.len;++j) {
_ans.num[i+j-1]+=this->num[i]*others.num[j];
}
}
for(rg int i=1;i<=llen;++i) {
_ans.num[i+1]+=_ans.num[i]/10;
_ans.num[i]%=10;
}
_ans.len=llen;
while(!_ans.num[_ans.len]) --_ans.len;
if(!_ans.len) _ans.len=1;
return _ans;
}
};
Bignum a,b,ans;
char MU[10010];
int cnt;
void dv(Bignum&);
void mul(Bignum&);
void init(Bignum&,int);
void print(Bignum&);
int main() {
scanf("%s",MU+1);init(a,strlen(MU+1));
scanf("%s",MU+1);init(b,strlen(MU+1));
ans.num[1]=1;ans.len=1;
while(a != b) {
bool flag=false;
if(!((int(a.num[1])) & 1)) {dv(a);flag=true;}
if(!((int(b.num[1])) & 1)) {dv(b);if(flag) mul(ans);flag=true;}
if(flag) continue;
// print(a);puts("\nemm");print(b);putchar('\n');
if(a < b) {b-=a;}
else {a-=b;}
}
ans=ans*a;
print(ans);putchar('\n');
return 0;
}
void init(Bignum &k,int l) {
for(rg int i=l;i;--i) k.num[++k.len]=MU[i]-'0';
}
void dv(Bignum &k) {
int lst=0;
for(rg int i=k.len;i;--i) {
int _temp=k.num[i]+(lst<<1)+(lst<<3);
int _ans=_temp/2;
if(_temp & 1) lst=1;else lst=0;
k.num[i]=_ans;
}
while(!k.num[k.len]) --k.len;
return;
}
void mul(Bignum &k) {
int lst=0;k.len+=2;
for(rg int i=1;i<=k.len;++i) {
k.num[i]*=2;
k.num[i]+=lst;
lst=k.num[i]/10;k.num[i]%=10;
}
while(!k.num[k.len]) --k.len;
if(!k.len) ++k.len;
return;
}
void print(Bignum &k) {
// printf("%d\n",k.len);
for(rg int i=k.len;i>0;--i) putchar(k.num[i]+'0');
}
Summary
在高精度运算下求gcd，如果两数特大可以考虑使用优化后的更损相减。但是需要注意的是更损相减法的常数在极端情况下大概会达到\(4\)倍。而欧几里得算法的常数小于\(1\)。在取模计算量可以忽略的情况下应尽量选择欧几里得算法。
再说一句GCD真的不是什么党……
