【二分】【P1314】 【NOIP2011D2T2】聪明的质监员
Description
小T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有 \(n\) 个矿石，从 \(1\) 到 \(n\) 逐一编号，每个矿石都有自己的重量 \(w_i\) 以及价值 \(v_i\) 。检验矿产的流程是：
1 、给定 \(m\) 个区间 \([L_i,R_i]\) ；
2 、选出一个参数 $ W$ ；
3 、对于一个区间 \([L_i,R_i]\) ，计算矿石在这个区间上的检验值 \(Y_i\) ：
\(Y_i=\sum_{j}1 \times \sum_{j}v_{j}\)，其中\(j~\in~ [L_i,R_i]\)且\(w_j>W\)，\(j\)是矿石编号。
这批矿产的检验结果 \(Y\) 为各个区间的检验值之和。即： \(Y_1+Y_2...+Y_m\)
若这批矿产的检验结果与所给标准值 \(S\) 相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小T不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数W 的值，让检验结果尽可能的靠近标准值 \(S\) ，即使得 \(S-Y\) 的绝对值最小。请你帮忙求出这个最小值。
Input
第一行包含三个整数 \(n,m,S\) ，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。
接下来的 \(n\) 行，每行 \(2\) 个整数，中间用空格隔开，第 \(i+1\) 行表示 \(i\) 号矿石的重量 \(w_i\) 和价值 \(v_i\) 。
接下来的 \(m\) 行，表示区间，每行 \(2\) 个整数，中间用空格隔开，第 \(i+n+1\) 行表示区间 \([L_i,R_i]\) 的两个端点 \(L_i\) 和 \(R_i\) 。注意：不同区间可能重合或相互重叠。
Output
一个整数，表示所求的最小值。
Sample Input
5 3 15
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
1 5
2 4
3 3
Sample Output
10
Hint
对于\(100\%\)的数据，有$ 1 ≤n ,m≤200,000,0 < w_i,v_i≤10^6,0 < S≤10^12,1 ≤L_i ≤R_i ≤n$ 。
Solution
先来化简一下这个毒瘤表达式什么意思：
\(Y_i=\sum_{j}1 \times \sum_{j}v_{j}\)，其中\(j~\in~ [L_i,R_i]\)且\(w_j>W\)。
对于乘号前面，有几个\(j\)就会增加几个\(1\)，所以 \(\sum_{j}1\) 事实上就等于\(j\)。乘号后面显然是合法的\(v\)的和。
所以这个表达式的含义就是满足\(j~\in~ [L_i,R_i]\)且\(w_j>W\)的矿石数量乘上他们的权值和。
当时出题的真是闲的整这么个毒瘤表达式
那么题意就很清楚了。显然可以发现的一点是在参数\(W\)增加的时候求出来的\(Y\)是单调不减的。根据这个性质，我们可以二分W的值。
接着考虑二分的check怎么写。暴力计算整个结构显然最坏会达到\(O(n^2)\)，不可做。一开始想着预处理线段树，发现貌似不可做。考虑前缀和。这样花费\(O(n)\)预处理，\(O(1)\)查询每个区间。
整个算法复杂度\(O(nlogn)\)，可以通过本题。
Code
#include<cstdio>
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long int
typedef long long int ll;
namespace IO {
char buf[50];
}
template<typename T>
inline void qr(T &x) {
char ch=getchar(),lst=' ';
while(ch>'9'||ch<'0') lst=ch,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
if (lst=='-') x=-x;
}
template<typename T>
inline void write(T x,const char aft,const bool pt) {
if(x<0) {putchar('-');x=-x;}
int top=0;
do {
IO::buf[++top]=x%10+'0';
x/=10;
} while(x);
while(top) putchar(IO::buf[top--]);
if(pt) putchar(aft);
}
template <typename T>
inline T mmax(const T &a,const T &b) {if(a>b) return a;return b;}
template <typename T>
inline T mmin(const T &a,const T &b) {if(a<b) return a;return b;}
template <typename T>
inline T mabs(const T &a) {if(a<0) return -a;return a;}
template <typename T>
inline void mswap(T &a,T &b) {T temp=a;a=b;b=temp;}
const ll maxn = 200010;
const ll INF = 1ll<<60;
struct M {
ll w,v;
};
M MU[maxn];
struct R {
ll l,r;
};
R RU[maxn];
ll n,m,s,ans=INF;
ll sum[maxn],cnt[maxn];
int main() {
qr(n);qr(m);qr(s);
for(rg int i=1;i<=n;++i) {qr(MU[i].w);qr(MU[i].v);}
for(rg int i=1;i<=m;++i) {qr(RU[i].l);qr(RU[i].r);}
rg ll l=0,r=1e6,mid;
while(l<=r) {
ll _ans=0;
mid=(l+r)>>1;
for(rg int i=1;i<=n;++i) {
sum[i]=sum[i-1];cnt[i]=cnt[i-1];
if(MU[i].w>mid) sum[i]+=MU[i].v,++cnt[i];
}
for(rg int i=1;i<=m;++i) {
_ans+=(sum[RU[i].r]-sum[RU[i].l-1])*(cnt[RU[i].r]-cnt[RU[i].l-1]);
}
ans=mmin(ans,mabs(_ans-s));
if(_ans<s) r=mid-1;else l=mid+1;
}
write(ans,'\n',true);
}
