【矩阵】矩阵初级

百度百科

Definition

　　矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。

　　描述一个矩阵的形状使用两个参数，为矩阵的行数和列数。在代码中是用r和c体现。

　　约定在描述矩阵时，行在前列在后，例如一个n*m的矩阵意味着一个n行m列的矩阵。

　　两个矩阵相同，当且仅当他们行、列数相同并且元素完全相同。

　　两个矩阵形状相同，当且仅当他们行、列数相同。

operation algorithm

　addition

　　两个矩阵能够进行加法，当且仅当两个矩阵形状相同。

　　两个矩阵进行加法，返回一个矩阵，矩阵行、列数与原矩阵相同，对应位置上的值为两个矩阵对应位置上值的和。例如：

　subtraction

　　类比两个矩阵进行加法，两个矩阵能进行减法，当且仅当他们形状相同。

　　两个矩阵进行减法，返回一个矩阵，矩阵行、列数与原矩阵相同，对应位置上的值为两个矩阵对应位置上值的差。例如：

　multiplication

　　两个矩阵A，B能进行A*B的矩阵乘法，当且仅当A的列数等于B的行数。

　　注意，A*B ≠ B*A

　　下面约定矩阵A为乘号前的矩阵，矩阵B为乘号后的矩阵。

　　两个矩阵A，B进行乘法A*B，返回一个矩阵C，矩阵行数为A的行数；矩阵列数为B的列数。矩阵第i行第j列的值C_(i,j)被定义如下：

　　　　C_(i,j)=Σ^A.c_k=1 A_(i,k)*B_(k,j) 。其中A.c代表A的列数。

　　例如：

　division

　　两个矩阵做除法A/B，求出B的逆矩阵B^-1,则等价于A*B^-1。求逆矩阵的方法过于复杂不表。

　lows

　　　矩阵加、减法具有交换律，结合率。

　　　矩阵乘法具有结合率。即(A*B)*C=A*(B*C)。不具有交换律。即A*B*C!=A*C*B。

矩阵快速幂

　　方阵：一个矩阵时方阵当且仅当它的行数等于列数

　　主对角线：一个方阵的主对角线被定义为从左上角连接到右下角的对角线。

　　单位矩阵：一个方阵是单位矩阵当且仅当它有且仅有主对角线上元素的值为1，其他值为0。

　　性质：任何一个矩阵乘上一个能和他相乘的单位矩阵，得到的矩阵是它本身。

　　矩阵快速幂：

　　　　一个矩阵能进行矩阵快速幂当且仅当它是一个方阵。

　　　　矩阵进行快速幂与普通快速幂相同。必须使用循环形式。因为使用递归可能会占用较多资源。

矩阵优化类递推题目

　　需要矩阵优化的递推题目一般递推式中，该位置i的值一般前面第i-k项有关，其中k为若干个常数。例如fibnacci数列：f_i=f_i-1+f_i-2。

　　这样的题目可以将f_i到f_i+x连续组成一个矩阵。其中x为k的最大值。设W为一个矩阵，解方程|f_i,f_i+1,…,f_i+x|*W=|f_i+1,f_i+2,…,f_i+x+1|。

　　解出W是一个常量矩阵，这样数学归纳易证f1*W^n-1=fn，可以求出第n项的值。

Codes

　　下面是封装了矩阵加、乘两则运算的代码

struct M {
    static const int Maxsize = 10;
    static const int MODNUM = 1000000007;
    int r,c;
    ll mat[Maxsize][Maxsize];
    void clear() {memset(mat,0,sizeof mat);r=c=0;}
    bool can_mul(const M &_a,const M _b) {
        return _a.c==_b.r;
    }
    bool can_add(const M &_a,const M &_b) {
        return (_a.r==_b.r) and (_a.c==_b.c);
    }
};
M operator+(const M &_a,const M &_b) {
    M _ans;_ans.clear();
    for(rg int i=1;i<=_a.r;++i) for(rg int j=1;j<=_a.c;++j) _ans.mat[i][j]=(_a.mat[i][j]+_b.mat[i][j])%M::MODNUM;
    _ans.r=_a.r;_ans.c=_a.c;
    return _ans;
}
M operator*(const M &_a,const M &_b) {
    M _ans;_ans.clear();
    for(rg int i=1;i<=_a.r;++i) 
        for(rg int j=1;j<=_b.c;++j)
            for(rg int k=1;k<=_a.c;++k)
                _ans.mat[i][j]=(_ans.mat[i][j]+_a.mat[i][k]*_b.mat[k][j])%M::MODNUM;
    _ans.r=_a.r;_ans.c=_b.c;
    return _ans;
}

Examples

　　P3390 【模板】矩阵快速幂

　　Description

　　　　给定n*n的矩阵A，求A^k

　　Input

　　　　第一行，n,k

　　　　第2至n+1行，每行n个数，第i+1行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素

　　Output

　　　　输出A^k

　　　　共n行，每行n个数，第i行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素，每个元素模10^9+7

　　Sample Input

2 1
1 1
1 1

　　Sample Output

1 1
1 1

　　Hint

　　　　n<=100, k<=10^12, |矩阵元素|<=1000

　　Soltion

　　　　板子题要啥Solution

　　Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long int

typedef long long int ll;

namespace IO {
    char buf[100];
}

template <typename T>
inline void qr(T &x) {
    char ch=getchar(),lst=' ';
    while(ch>'9'||ch<'0') lst=ch,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    if(lst=='-') x=-x;
}

template <typename T>
inline void write(T x,const char aft,const bool pt) {
    if(x<0) {putchar('-');x=-x;}
    int top=0;
    do {
        IO::buf[++top]=x%10+'0';
        x/=10;
    }while(x);
    while(top) putchar(IO::buf[top--]);
    if(pt) putchar(aft);
}

template <typename T>
inline T mmax(const T _a,const T _b) {if(_b<_a) return _a;return _b;}
template <typename T>
inline T mmin(const T _a,const T _b) {if(_a>_b) return _b;return _a;}
template <typename T>
inline T mabs(const T _a) {if(_a<0) return -_a;return _a;}

template <typename T>
inline void mswap(T &_a,T &_b) {
    T _temp=_a;_a=_b;_b=_temp;
}

const int maxn = 110;
const int MOD = 1e9+7;

struct M {
    ll mat[maxn][maxn];
    void clear() {
        memset(mat,0,sizeof mat);
    }
};
M MU,re,ans;

int n;ll k;

void mul(const M &_a,const M & _b,M &_c) {
    M _temp;_temp.clear();
    for(rg int i=1;i<=n;++i) {
        for(rg int j=1;j<=n;++j) {
            for(rg int k=1;k<=n;++k)
                _temp.mat[i][j]=(_temp.mat[i][j]+_a.mat[i][k]*_b.mat[k][j]%MOD)%MOD;
        }
    }
    for(rg int i=1;i<=n;++i) for(rg int j=1;j<=n;++j) _c.mat[i][j]=_temp.mat[i][j];
}

int main() {
    qr(n);qr(k);
    for(rg int i=1;i<=n;++i) for(rg int j=1;j<=n;++j) {
        M &now=MU;qr(now.mat[i][j]);
    }
    for(rg int i=1;i<=n;++i) ans.mat[i][i]=1;
    
    while(k) {
        if(k&1) mul(ans,MU,ans);
        mul(MU,MU,MU);
        k>>=1;
    }
    
    for(rg int i=1;i<=n;++i) {
        for(rg int j=1;j<n;++j) write(ans.mat[i][j],' ',true);
        write(ans.mat[i][n],'\n',true);
    }
}

　　　　【P1962】斐波那契数列

　　　　Description

　　　　　　求斐波那契数第n项。其中规定f₀=0,f₁=1

　　　　Input

　　　　　　一个数，n

　　　　Output

　　　　　　一个数，答案取模1e9+7。

　　　　Sample Input

　　　　Sample Output

　　　　Hint

　　　　　　n在long long范围内

　　　　Solution

　　　　　　因为知道数列中连续两项就可以推出后面所有的数，所以考虑把两个连续的数放到一个矩阵中。

　　　　　　考虑|f_i,f_i+1|*X=|f_i+1,f_i+2|。记A=|f_i,f_i+1|，B=|f_i+1,f_i+2|。r代表行数，c代表列数。

　　　　　　由矩阵乘法的性质可知，A.c=X.r；B.c=X.c。所以X是二行二列矩阵

　　　　　　设

　　　　　　根据矩阵的乘法法则，可以列出方程：

　　　　　　a*f_i+c*f_i+1=f_i+1①

　　　　　　b*f_i+d*f_i+1=f_i+2②

　　　　　　直接利用①两侧相等解出a=0，c=1。

　　　　　　对于方程②使用递推式解得b=d=1。

　　　　　　这样矩阵x就被解出。

　　　　　　最后答案即是|f1,f2|*X^n-1。

　　　　Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long int

typedef long long int ll;

namespace IO {
    char buf[100];
}

template <typename T>
inline void qr(T &x) {
    char ch=getchar(),lst=' ';
    while(ch>'9'||ch<'0') lst=ch,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    if(lst=='-') x=-x;
}

template <typename T>
inline void write(T x,const char aft,const bool pt) {
    if(x<0) {putchar('-');x=-x;}
    int top=0;
    do {
        IO::buf[++top]=x%10+'0';
        x/=10;
    }while(x);
    while(top) putchar(IO::buf[top--]);
    if(pt) putchar(aft);
}

template <typename T>
inline T mmax(const T _a,const T _b) {if(_b<_a) return _a;return _b;}
template <typename T>
inline T mmin(const T _a,const T _b) {if(_a>_b) return _b;return _a;}
template <typename T>
inline T mabs(const T _a) {if(_a<0) return -_a;return _a;}

template <typename T>
inline void mswap(T &_a,T &_b) {
    T _temp=_a;_a=_b;_b=_temp;
}

const int MOD = 1000000007;

struct M {
    static const int Maxsize = 10;
    static const int MODNUM = 1000000007;
    int r,c;
    ll mat[Maxsize][Maxsize];
    void clear() {memset(mat,0,sizeof mat);r=c=0;}
    bool can_mul(const M &_a,const M _b) {
        return _a.c==_b.r;
    }
    bool can_add(const M &_a,const M &_b) {
        return (_a.r==_b.r) and (_a.c==_b.c);
    }
};
M operator+(const M &_a,const M &_b) {
    M _ans;_ans.clear();
    for(rg int i=1;i<=_a.r;++i) for(rg int j=1;j<=_a.c;++j) _ans.mat[i][j]=(_a.mat[i][j]+_b.mat[i][j])%M::MODNUM;
    _ans.r=_a.r;_ans.c=_a.c;
    return _ans;
}
M operator*(const M &_a,const M &_b) {
    M _ans;_ans.clear();
    for(rg int i=1;i<=_a.r;++i) 
        for(rg int j=1;j<=_b.c;++j)
            for(rg int k=1;k<=_a.c;++k)
                _ans.mat[i][j]=(_ans.mat[i][j]+_a.mat[i][k]*_b.mat[k][j])%M::MODNUM;
    _ans.r=_a.r;_ans.c=_b.c;
    return _ans;
}
M fib,beg,MS;

ll n;

void beginning();
M pow(ll);

int main() {
    beginning();
    qr(n);
    if(n<3ll) return printf("1\n")&0;
    M _ans=pow(n-1); fib=beg*_ans;
    write(fib.mat[1][1],'\n',true);
    return 0;
}

void beginning() {
    beg.r=1;beg.c=2;
    beg.mat[1][2]=beg.mat[1][1]=1;
    MS.r=MS.c=2;
    MS.mat[1][2]=MS.mat[2][1]=MS.mat[2][2]=1;
}

M pow(ll x) {
    M _ans;_ans.clear();_ans.r=2;_ans.c=2;
    _ans.mat[1][1]=_ans.mat[2][2]=1;
    while(x) {
        if(x&1) _ans=_ans*MS;
        MS=MS*MS;
        x>>=1;
    }
    return _ans;
}

Summary

　　这是矩阵中比较基础的部分，事实上，对于循环形式的快速幂，还是要好好掌握滴。

　　行列式真tm变态不会不会滚粗了

posted @ 2018-08-16 18:15 一扶苏一阅读(761) 评论(0) 编辑收藏举报

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一扶苏一

山有木兮卿有意昨夜星辰恰似你

【矩阵】矩阵初级

Definition

operation algorithm

addition

subtraction

multiplication

division

lows

矩阵快速幂

矩阵优化类递推题目

Codes

Examples

P3390 【模板】矩阵快速幂

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output

Hint

Soltion

Code

【P1962】斐波那契数列

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output

Hint

Solution

Code

Summary

公告

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【矩阵】矩阵初级

Definition

operation algorithm

addition

subtraction

multiplication

division

lows

矩阵快速幂

矩阵优化类递推题目

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P3390 【模板】 矩阵快速幂

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output

Hint

Soltion

Code

【P1962】 斐波那契数列

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output

Hint

Solution

Code

Summary

公告

山有木兮卿有意昨夜星辰恰似你

　addition

　subtraction

　multiplication

　division

　lows

　　P3390 【模板】矩阵快速幂

　　Description

　　Input

　　Output

　　Sample Input

　　Sample Output

　　Hint

　　Soltion

　　Code

　　　　【P1962】斐波那契数列

　　　　Description

　　　　Input

　　　　Output

　　　　Sample Input

　　　　Sample Output

　　　　Hint

　　　　Solution

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