【计数】【UVA11401】 Triangle Counting

传送门

Description

　　把1……n这n个数中任取3个数，求能组成一个三角形的方案个数

Input

　　多组数据，对于每组数据，包括：

• 一行一个数i，代表前i个数。

　　输入结束标识为i＜3.

Output

　　对于每组数据，输出：

• 对应的方案个数

Sample Input

5
8
0

Sample Output

3
22

Hint

n≤1e6。

三个数字x,y,z能组成三角形当且仅当对于任意顺序，都满足x+y>z。

Solution

　　考虑把所有能组成的三角形按照最长边分类。因为三边长度互不相同，所以每个三角形都会被唯一的归为一类。设f_i为最长边为i的方案个数，那么按照加法原理，n以内的方案个数=∑_{(i :3 to n)}f_i。考虑三角形三边关系定理，对于三遍x,y,z，不妨设x是最长边，那么满足y+z>x，移项得z>x-y。又因为x是最长边，故有x-y<z<x。

　　考虑乘法原理，先确定y，当y=1时，无解；y=2时，有1个解。进行数学归纳易证y=x-1时，有x-2个解。根据等差数列的求和公式，解的个数为∑^x-1_i=1=(x-1)(x-2)/2。但是需要注意的是这样包括了y=z的情况。需要减掉。另外这样每个三角形被计算了两遍，需要除以二。

　　对于y=z的情况被统计到，当且仅当y<x/2。所以需要减掉(x-1)/2。最后递推解决前n个的问题即可。

　　需要注意的是开longlong

Code

#include<cstdio>
#define rg register
#define ci const int

typedef long long int ll;

namespace IO {
    char buf[50];
} 

inline void qr(int &x) {
    char ch=getchar(),lst=' ';
    while(ch>'9'||ch<'0') lst=ch,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    if(lst=='-') x=-x;
}

inline void write(ll x,const char aft,const bool pt) {
    if(x<0) {putchar('-');x=-x;}
    int top=0;
    do {
        IO::buf[++top]=x%10+48;
        x/=10;
    } while(x);
    while(top) putchar(IO::buf[top--]);
    if(pt) putchar(aft);
}

template <typename T>
inline T mmax(const T &a,const T &b) {if(a>b) return a;return b;}
template <typename T>
inline T mmin(const T &a,const T &b) {if(a<b) return a;return b;}
template <typename T>
inline T mabs(const T &a) {if(a>=0) return a;return -a;}

template <typename T>
inline void mswap(T &a,T &b) {T temp=a;a=b;b=temp;}

const int maxn = 1000001;

ll frog[maxn];
int a;

int main() {
    for(rg int i=4;i<maxn;++i) {
        frog[i]=frog[i-1]+(((1ll*(i-1)*(i-2)>>1)-((i-1)>>1))>>1);
    }
    a=0;qr(a);
    while(a>=3) {
        write(frog[a],'\n',true);
        a=0;qr(a);
    }
    return 0;
}

Summary

在统计时，及时去重是必要的。

在lg的题解上有神仙找规律……反正我没法证明

设f_i为i个的ans，则f_i=f_i-2+i-3