【图论】Floyd消圈算法
Definition&Solution
对于一个给定的链表，如何判定它是否存在环以及环的长度问题，可以使用Floyd消圈算法求出。
从某种意义上来讲，带环的链表在本质上是一个有向图
考虑下面的事实：假定小Y和小Z在圆形操场上跑步，小Z的速度是小Y的两倍，那么总存在一个时刻，使得小Z和小Y在同一个位置但是小Z比小Y多跑了若干圈。
该算法的复杂度为O(n)。
代码如下：
void floyd_c() { int c1=list_begin,c2=list_begin;//c=child do { c1=nxt[c1]; c2=nxt[c2]; dosth(); c2=nxt[c2]; dosth(); } while(c1!=c2); return; }
其中dosth应具体情况具体分析。
考虑如何求出该环的起点。
如果你不理解环为什么有起点，不妨观察下面的链表：
由于1是链表的起点，以1号点为起点遍历整张链表，是从3号点进入原谅环的，我们认为3号点是原谅环的起点。
如何求出起点。
将小Z和小Y都放到链表的起点上，当两者相遇时，将其中一个指针再次放到起点上，二者再次相遇的位置就是环的起点。
证明如下：
由于含有多个环的链表可以通过数学归纳由含有一个环的链表证明，故不妨设所研究的链表只有一个环，同时还有一条长度至少为1（一个点）的链。
设环的长度为n，链的长度为m。快慢指针第一次相遇在环上的第k个点，那么有：
快指针的路程Sa=m+A*n+k，其中A∈Z，代表走了几圈①
慢指针的路程Sb=m+B*n+k。其中B∈Z，代表走了几圈②
由于快指针的速度是慢指针的两倍，即：
Va=2Vb③
在运动时间一定的情况下有：
Sa=2Sb④
①-②得：
Sa-Sb=(A-B)*n⑤
联立④⑤解得Sb=(A-B)*n⑥
由于A，B∈Z，且显然A>B，所以Sa，Sb都是圈长度的倍数。
不妨设Sb=T*n。显然从起点出发，走过T*n+m时，到达环的起点。
那么在两个指针相遇时，我们让两个指针的速度都为1，走m个单位就可以到达环的起点，这时快指针的路程为2Sb+m。慢指针的路程为Sb+m。
由于Sb=T*n，这时的路程可以理解为快指针走到m处然后绕了几圈，绕圈路程为2Sb，慢指针从路程为Sb的位置走了m，那么二者的相遇的地方显然是环的起点。
特别的，因为vb=1。所以Sb即为循环的次数。通过⑥式已经证明，该算法的复杂度为O(n)。其中常数随环的形态而改变。
Sample
UVA11549 Calculator Conundrum
Description
有一个非常无聊的傻逼，有一天他闲的没事干玩一个老式计算器，这个计算器只能显示答案最高的n位。比如n=2，计算99+1的答案为100时，显示为10。
现在他一开始输入了一个数字k，保证在能显示的范围内，然后将k平方，然后将答案平方，再平方……
这个无聊的人想知道屏幕上显示的最大数时多少。
Input
第一行是数据组数，对于每组数据，包含：
- 一个整数n，一个整数k
Output
对于每组数据，输出：
- 对应答案
Sample Input
2 1 6 2 99
Sample Output
9 99
Hint
n≤9
Solution
简单的数学归纳可以证明计算器上的数字是会出现循环的,可以使用Floyd消圈算法解决此题。
Code
#include<cstdio> #define rg register #define ci const int #define ll long long int inline void qr(int &x) { char ch=getchar(),lst=NULL; while(ch>'9'||ch<'0') lst=ch,ch=getchar(); while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar(); if (lst=='-') x=-x; } char buf[20]; inline void write(int x,const char aft,const bool pt) { if(x<0) {putchar('-');x=-x;} int top=0; do { buf[++top]=x%10+'0'; x/=10; } while(x); while(top) putchar(buf[top--]); if(pt) putchar(aft); } template <typename T> inline T mmax(const T &a,const T &b) {if(a>b) return a;return b;} template <typename T> inline T mmin(const T &a,const T &b) {if(a<b) return a;return b;} template <typename T> inline T mabs(const T &a) {if(a<0) return -a;return a;} template <typename T> inline void mswap(T &a,T &b) {T temp=a;a=b;b=temp;} int t,n,k,ans; int nxt(ci); int main() { qr(t); while(t--) { n=k=0;qr(n);qr(k); int c1=k,c2=k;ans=k; do { c1=nxt(c1); c2=nxt(c2);ans=mmax(ans,c2);c2=nxt(c2);ans=mmax(ans,c2); } while(c1!=c2); write(ans,'\n',true); } return 0; } short bufff[100]; int nxt(int x) { if(!x)return 0; long long kf=(long long)x*x; int L=0; while(kf>0) bufff[L++]=kf%10,kf/=10; int temp=n; if(temp>L) temp=L; int sum=0; for(int i=0;i<temp;++i) sum=(sum<<1)+(sum<<3)+bufff[--L]; return sum; }
Summary
1、Floyd消圈算法是达到理论下限的判断有向图上环的算法。尽管它的常数难以控制，但是十分的实用并且好写。
2、在证明的最后使用了等效替代法，在其他的OI毒瘤题中，也应注意该方法的应用。
