【meet in the mid】【qbxt2019csp刷题班day1C】birthday

Description

给定一个长度为 $n$ 序列，值域为 $[1, v]$，每次选择一段区间，要求在这个区间上选择一些元素加入到两个集合中，每个元素要么不选要么只能加入一个集合，要求两个集合非空且元素和相等，问能否实现。

同时要求区间修改元素为自身的立方对 $v$ 取模的结果。

Limatations

$1 \leq n \leq 10^5$，$1 \leq v \leq 1000$

Solution

考虑一段长度为 $len$ 的区间，考虑每个点有选入集合和不选入集合两种可能，所以所有选择的种数一共有 $2^{len}$ 种。考虑由于值域为 $v$，所以可能出现的权值和一共有 $len \times v$ 种。考虑当 $2^{len} > len \times v$ 时，一定至少有两个不同的选择得到了相同的权值。考虑这两个选择可能会选择相同的元素，那么直接将这些相同的元素都去掉，由于去掉的元素相同，最终得到的权值和依然是相同的，并且两个集合无交。因此这种情况一定能实现。

解方程

$$2^{len} > len \times v$$

两侧同时取 $\log$，整理得

$$len - \log len > \log v$$

显然 $v$ 取最大值时，左侧取最大值，因此有

$$len - \log len > 10$$

显然当 $len$ 充分大时，左侧的值与 $len$ 正相关，枚举 $len$ 得到

$$len > 13$$

因此当 $len \geq 14$ 时，可以直接输出 $Yes$，下面考虑 $len \leq 13$ 的情况。

考虑最简单的方法是爆搜，枚举每个元素不选还是选入集合 $A$ 还是选入集合 $B$，时间复杂度 $O(3^{len})$，由于一共有 $m$ 次查询，时间复杂度超标。

考虑进行 meet in the middle，先搜索区间前 $6$ 个元素的所有情况，记录所有可能的 $A$ $B$ 两集合元素和之差，再搜索区间后 $7$ 个元素的情况，同样记录所有可能的元素和之差。一旦有一个差在两侧都有出现，那么只需要一个集合左边选较大的右边选较小的；另一个集合左边选较小的右边选较大的，即可得到两个合法的集合，反之则不能得到。

因此这这样的复杂度为 $O(2^{len / 2})$，由于有 $m$ 次操作，实际运算量与 $2^7 \times m$ 同阶，可以通过本题。

考虑区间修改操作，只需要分块或者线段树即可快速维护。

Summary

zxy 天下第一