【meet in the mid】【qbxt2019csp刷题班day1C】birthday

Description

给定一个长度为 \(n\) 序列，值域为 \([1, v]\)，每次选择一段区间，要求在这个区间上选择一些元素加入到两个集合中，每个元素要么不选要么只能加入一个集合，要求两个集合非空且元素和相等，问能否实现。

同时要求区间修改元素为自身的立方对 \(v\) 取模的结果。

Limatations

\(1 \leq n \leq 10^5\)，\(1 \leq v \leq 1000\)

Solution

考虑一段长度为 \(len\) 的区间，考虑每个点有选入集合和不选入集合两种可能，所以所有选择的种数一共有 \(2^{len}\) 种。考虑由于值域为 \(v\)，所以可能出现的权值和一共有 \(len \times v\) 种。考虑当 \(2^{len} > len \times v\) 时，一定至少有两个不同的选择得到了相同的权值。考虑这两个选择可能会选择相同的元素，那么直接将这些相同的元素都去掉，由于去掉的元素相同，最终得到的权值和依然是相同的，并且两个集合无交。因此这种情况一定能实现。

解方程

\[2^{len} > len \times v \]

两侧同时取 \(\log\)，整理得

\[len - \log len > \log v \]

显然 \(v\) 取最大值时，左侧取最大值，因此有

\[len - \log len > 10 \]

显然当 \(len\) 充分大时，左侧的值与 \(len\) 正相关，枚举 \(len\) 得到

\[len > 13 \]

因此当 \(len \geq 14\) 时，可以直接输出 \(Yes\)，下面考虑 \(len \leq 13\) 的情况。

考虑最简单的方法是爆搜，枚举每个元素不选还是选入集合 \(A\) 还是选入集合 \(B\)，时间复杂度 \(O(3^{len})\)，由于一共有 \(m\) 次查询，时间复杂度超标。

考虑进行 meet in the middle，先搜索区间前 \(6\) 个元素的所有情况，记录所有可能的 \(A\) \(B\) 两集合元素和之差，再搜索区间后 \(7\) 个元素的情况，同样记录所有可能的元素和之差。一旦有一个差在两侧都有出现，那么只需要一个集合左边选较大的右边选较小的；另一个集合左边选较小的右边选较大的，即可得到两个合法的集合，反之则不能得到。

因此这这样的复杂度为 \(O(2^{len / 2})\)，由于有 \(m\) 次操作，实际运算量与 \(2^7 \times m\) 同阶，可以通过本题。

考虑区间修改操作，只需要分块或者线段树即可快速维护。

Summary

zxy 天下第一