【border树】【P2375】动物园

Description

给定一个字符串 $S$，对每个前缀求长度不超过该前缀一半的公共前后缀个数。

共有 $T$ 组数据，每组数据的输出是 $O(1)$ 的。

Limitations

$1 \leq |S| \leq 10^6,~1 \leq T \leq 5$

Solution

好水的NOI题

建出 $border$ 树，对于树上每个节点，它的所有 $border$ 与它的所有祖先一一对应。这是因为每个节点的父亲是它的最长 $border$，数学归纳可以证明这个结论。

考虑对于这棵 $border$ 树上任何一个节点到根的路径上节点的编号一定是单调减小的，这是因为每个结点的最长 $border$ 显然小于自身。

因此，对于一个点 $u$，如果 $v$ 是一个合法的 $border$，那么 $v$ 的祖先一定是合法的 $border$。所以合法的 $border$ 一定是一条以根为一个端点的链。

综合上面两条可以得出，如果 $u$ 的合法 $border$ 对应链的另一个端点为 $v$，那么 $u$ 的孩子的合法 $border$ 的对应端点一定在 $v$ 到 $u$ 的路径上，因此这个端点位置是单调变深的。

所以只需要在 dfs 的时候维护根节点到该节点的链，并维护当前节点的答案位置即可。由于答案位置只会变大，因此答案位置的寻找是均摊 $O(1)$ 的，暴力往下循环即可。

总时间复杂度 $O(T |S|)$。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>

const int maxn = 1000006;
const int MOD = 1000000007;

int T;
int n, top;
ll ans;
char MU[maxn];
int border[maxn], pos[maxn], stack[maxn];
std::vector<int>son[maxn];

void KMP();
void clear();
int ReadStr(char *p);
void dfs(const int u);

int main() {
  freopen("1.in", "r", stdin);
  qr(T);
  while (T--) {
    clear();
    n = ReadStr(MU + 1);
    KMP();
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      son[border[i]].push_back(i);
    }
    dfs(0);
    qw(ans, '\n', true);
  }
  return 0;
}

int ReadStr(char *p) {
  auto beg = p;
  do *p = IPT::GetChar(); while ((*p > 'z') || (*p < 'a'));
  do *(++p) = IPT::GetChar(); while ((*p >= 'a') && (*p <= 'z'));
  *p = 0;
  return p - beg;
}

void KMP() {
  for (int i = 2, j = 0; i <= n; ++i) {
    while (j && (MU[i] != MU[j + 1])) j = border[j];
    if (MU[i] == MU[j + 1]) ++j;
    border[i] = j;
  }
}

void clear() {
  ans = 1; top = -1;
  for (auto &u : son) {
    u.clear();
  }
  memset(pos, 0, sizeof pos);
}

void dfs(const int u) {
  stack[++top] = u;
  for (auto v : son[u]) {
    int dv = v >> 1;
    int &_ans = pos[v];
    _ans = pos[u];
    while ((_ans < top) && (stack[_ans + 1] <= dv)) ++_ans;
    dfs(v);
  }
  if (pos[u]) {
    (ans += pos[u] * ans) %= MOD;
  }
  --top;
}