【字符串】KMP

Algorithm

Task

给定一个文本串 \(S\) 和一个模式串 \(T\)，求 \(T\) 在 \(S\) 中出现的所有位置。

Limitations

要求时空复杂度均为线性。

Solution

回头重新学一遍看毛片 KMP 算法。

设 \(X\) 是一个字符串，则以下表述中，\(X_u\) 代表 \(X\) 的第 \(u\) 个字符，\(X_{u \sim v}\) 代表 \(X\) 的从 \(u\) 起到 \(v\) 结束的字串。

首先定义一个字符串的公共前后缀为这个字符串的一个 \(border\)，最长公共前后缀称为最长 \(border\)。特别的，不认为字符串本身是自身的 \(border\)。

性质：字符串 \(S\) 的 \(border\) 的 \(border\) 一定是 \(S\) 的 \(border\)，正确性显然。因此不断地跳最长 \(border\) 可以遍历字符串的所有 \(border\)

例如，对于字符串 \(abaab\) 来说，其唯一的 \(border\) 是 \(ab\)。

暴力匹配两个字符串，时间复杂度为 \(O(|S||T|)\)，考虑优化这个算法。

假设当前匹配时 \(S\) 扫描到了第 \(i\) 位， \(T\) 扫描到了第 \(j\) 位，且 \(S\) 从 \(i\) 向前 \(j\) 位组成的字符串与 \(T\) 的前 \(j\) 位相同，而 \(S_{i + 1} \neq T_{j+1}\)，我们称为发生了失配。

考虑失配时，指针 \(i\) 不变，只有将指针 \(j\) 前移，才可能令下一位成功匹配。由于 \(i\) 不变，所以下一个可能发生匹配的字符串一定是 \(T_{1 \sim j}\) 的某个前缀 \(T_{1 \sim k}\) 满足

\[T_{1 \sim k} = S_{i - k + 1 \sim i} \]

其中由于 \(T_{1 \sim k}\) 是 \(T_{1 \sim j}\) 的字串，一定有 \(k < j\)。由于 \(S_{1 \sim i}\) 的后 \(j\) 位与 \(T\) 的前 \(j\) 位匹配，又有 \(k < j\)，因此 \(T_{1 \sim j}\) 的后 \(k\) 位一定与 \(S_{1 \sim i}\) 的后 \(k\) 位即 \(S_{i - k + 1 \sim i}\) 匹配。得出

\[T_{j - k + 1 \sim j} = S_{i - k + 1 \sim i} \]

上面两个式子等量代换得到

\[T_{1 \sim k} = T_{j - k + 1 \sim j} \]

由 \(border\) 的定义，我们发现 \(T_{1 \sim k}\) 一定是 \(T_{1 \sim j}\) 的 \(border\)。根据 \(border\) 的性质，我们只需要不断的跳 \(T_{1 \sim j}\) 的最长 \(border\) 即可找到一个最长的可以与 \(S_{1 \sim i}\) 的后几位匹配的字串。因此问题转化为了如何求一个字符串 \(T\) 的所有前缀的最长 \(border\)。

显然 \(border_1 = 0\)。从第 \(2\) 位开始，我们发现问题等价于用 \(T\)（模式串） 的一个前缀去匹配 \(T_{1 \sim i}\) （文本串）的一个后缀，求这个后缀最长是多少，而这个问题的解决方法与上面那个问题的方法 完 全 一 致，都是不断跳 \(border\) 即可。在 \(i\) 与 \(j\) 成功匹配时，记录 \(border_i = j\)。而在这个问题中，由于 \(j\) 恒小于 \(i\)，正向扫描 \(i\) 时，所用到的 \(border\) 值都已经被计算出，因此可以得出正确的结果。

考虑时间复杂度：一个显然的事实是每次跳 \(border\) 模式串指针 \(j\) 都会至少减少 \(1\)，而当且仅当第 \(S_{i+1}\) 与第 \(T_{j+1}\) 匹配时，\(j\) 才会自增，因此 \(j\) 仅增加了 \(O(|S|)\)，因此 \(j\) 只可能减少 \(O(|S|)\) 次，所以跳 \(border\) 的总次数不超过 \(O(|S|)\)，而扫描整个文本串需要 \(O(|S|)\) 的时间，因此总时间复杂度 \(O(|S|)\)。

Example

P3375 【模板】KMP字符串匹配

Description

给定一个文本串 \(S\) 和一个模式串 \(T\)，求 \(T\) 在 \(S\) 中出现的所有位置，同时要求输出 \(T\) 的每个前缀的 \(border\) 长度。

Limitations

字符串长度不超过 \(10^6\)

Solution

板板题

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int maxn = 1000006;

char S[maxn], T[maxn];
int nxt[maxn];

void KMP(char *A, char *B, int x, int y, const bool pt);

int main() {
  freopen("1.in", "r", stdin);
  scanf("%s\n%s", S + 1, T + 1);
  int x = strlen(S + 1), y = strlen(T + 1);
  KMP(T, T, y, y, false); KMP(S, T, x, y, true);
  for (int i = 1; i <= y; ++i) {
    qw(nxt[i], i == y ? '\n' : ' ', true);
  }
  return 0;
}

void KMP(char *A, char *B, int x, int y, const bool pt) {
  for (int j = 0, i = pt ? 1 : 2; i <= x; ++i) {
    while (j && (B[j+1] != A[i])) j = nxt[j];
    if (B[j+1] == A[i]) ++j;
    if (!pt) nxt[i] = j;
    if (j == y) {
      qw(i - y + 1, '\n', true);
    }
  }
}