【字符串】KMP

Algorithm

Task

给定一个文本串 $S$ 和一个模式串 $T$，求 $T$ 在 $S$ 中出现的所有位置。

Limitations

要求时空复杂度均为线性。

Solution

回头重新学一遍看毛片 KMP 算法。

设 $X$ 是一个字符串，则以下表述中，$X_u$ 代表 $X$ 的第 $u$ 个字符，$X_{u \sim v}$ 代表 $X$ 的从 $u$ 起到 $v$ 结束的字串。

首先定义一个字符串的公共前后缀为这个字符串的一个 $border$，最长公共前后缀称为最长 $border$。特别的，不认为字符串本身是自身的 $border$。

性质：字符串 $S$ 的 $border$ 的 $border$ 一定是 $S$ 的 $border$，正确性显然。因此不断地跳最长 $border$ 可以遍历字符串的所有 $border$

例如，对于字符串 $abaab$ 来说，其唯一的 $border$ 是 $ab$。

暴力匹配两个字符串，时间复杂度为 $O(|S||T|)$，考虑优化这个算法。

假设当前匹配时 $S$ 扫描到了第 $i$ 位， $T$ 扫描到了第 $j$ 位，且 $S$ 从 $i$ 向前 $j$ 位组成的字符串与 $T$ 的前 $j$ 位相同，而 $S_{i + 1} \neq T_{j+1}$，我们称为发生了失配。

考虑失配时，指针 $i$ 不变，只有将指针 $j$ 前移，才可能令下一位成功匹配。由于 $i$ 不变，所以下一个可能发生匹配的字符串一定是 $T_{1 \sim j}$ 的某个前缀 $T_{1 \sim k}$ 满足

$$T_{1 \sim k} = S_{i - k + 1 \sim i}$$

其中由于 $T_{1 \sim k}$ 是 $T_{1 \sim j}$ 的字串，一定有 $k < j$。由于 $S_{1 \sim i}$ 的后 $j$ 位与 $T$ 的前 $j$ 位匹配，又有 $k < j$，因此 $T_{1 \sim j}$ 的后 $k$ 位一定与 $S_{1 \sim i}$ 的后 $k$ 位即 $S_{i - k + 1 \sim i}$ 匹配。得出

$$T_{j - k + 1 \sim j} = S_{i - k + 1 \sim i}$$

上面两个式子等量代换得到

$$T_{1 \sim k} = T_{j - k + 1 \sim j}$$

由 $border$ 的定义，我们发现 $T_{1 \sim k}$ 一定是 $T_{1 \sim j}$ 的 $border$。根据 $border$ 的性质，我们只需要不断的跳 $T_{1 \sim j}$ 的最长 $border$ 即可找到一个最长的可以与 $S_{1 \sim i}$ 的后几位匹配的字串。因此问题转化为了如何求一个字符串 $T$ 的所有前缀的最长 $border$。

显然 $border_1 = 0$。从第 $2$ 位开始，我们发现问题等价于用 $T$（模式串） 的一个前缀去匹配 $T_{1 \sim i}$ （文本串）的一个后缀，求这个后缀最长是多少，而这个问题的解决方法与上面那个问题的方法 完 全 一 致，都是不断跳 $border$ 即可。在 $i$ 与 $j$ 成功匹配时，记录 $border_i = j$。而在这个问题中，由于 $j$ 恒小于 $i$，正向扫描 $i$ 时，所用到的 $border$ 值都已经被计算出，因此可以得出正确的结果。

考虑时间复杂度：一个显然的事实是每次跳 $border$ 模式串指针 $j$ 都会至少减少 $1$，而当且仅当第 $S_{i+1}$ 与第 $T_{j+1}$ 匹配时，$j$ 才会自增，因此 $j$ 仅增加了 $O(|S|)$，因此 $j$ 只可能减少 $O(|S|)$ 次，所以跳 $border$ 的总次数不超过 $O(|S|)$，而扫描整个文本串需要 $O(|S|)$ 的时间，因此总时间复杂度 $O(|S|)$。

Example

P3375 【模板】KMP字符串匹配

Description

给定一个文本串 $S$ 和一个模式串 $T$，求 $T$ 在 $S$ 中出现的所有位置，同时要求输出 $T$ 的每个前缀的 $border$ 长度。

Limitations

字符串长度不超过 $10^6$

Solution

板板题

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int maxn = 1000006;

char S[maxn], T[maxn];
int nxt[maxn];

void KMP(char *A, char *B, int x, int y, const bool pt);

int main() {
  freopen("1.in", "r", stdin);
  scanf("%s\n%s", S + 1, T + 1);
  int x = strlen(S + 1), y = strlen(T + 1);
  KMP(T, T, y, y, false); KMP(S, T, x, y, true);
  for (int i = 1; i <= y; ++i) {
    qw(nxt[i], i == y ? '\n' : ' ', true);
  }
  return 0;
}

void KMP(char *A, char *B, int x, int y, const bool pt) {
  for (int j = 0, i = pt ? 1 : 2; i <= x; ++i) {
    while (j && (B[j+1] != A[i])) j = nxt[j];
    if (B[j+1] == A[i]) ++j;
    if (!pt) nxt[i] = j;
    if (j == y) {
      qw(i - y + 1, '\n', true);
    }
  }
}