【基数排序】基数排序

Algorithm

Task

给定 $n$ 个整数，请排序后输出

Limitations

要求时间复杂度 $O((n + T)\log_TA)$，空间复杂度 $O(T)$ ，其中 $T = 32768$， $A$ 是序列中最大元素的值

Solution

前两天小迷学妹问我基数排序怎么写，然后我就想起来以前给 ddosvoid 大爷口胡过一个排序，大爷听完说这就是基排，于是就讲给了小学妹(雾)，但是我并不确定这是不是基排(((，总之复杂度一致就完事了

考虑桶排序，将所有数字压入桶中，正向扫描整个桶即可。但是当 $A$ 过大时，空间无法承受。

考虑这样一个事实：对于两个数字 $A,~B$，将他们二进制分成两段，先比较前半段，如果大小不同，那么前半段的大小关系即为 $A,~B$ 的大小关系，否则比较后半段，二进制后半段较大的一定更大。

我们发现这个结论可以拓展到将数字分成任意段，于是我们考虑将二进制每 $log_2T$ 位分一段，对每段做桶排序，然后合并结果即可。

那么出现了一个问题：如果从前向后进行比较的话，需要对前面二进制相同的每组数字分别桶排序，这样最多会做 $O(n)$ 次桶排序，每次 $O(T)$，总复杂度 $O(nT)$，当场去世。

但是考虑一个事实：桶排序是稳定的排序，即如果在某次排序中 $A$ 先于 $B$ 被扫描到，且本次排序认为 $A = B$，则扫描桶的时候 $A$ 也会先于 $B$ 被扫描。于是我们可以从后往前比较每段，在每次排序前，我们保证已经排过的段的部分的大小关系，在排序结束后，按照新的大小关系从桶中取出。由于之前排过的段的大小已经确定，且桶排序是稳定的，所以这次排序以后已排段的大小关系还是正确的。数学归纳可以证明这样排序的正确性。

考虑复杂度：一共进行了 $O(\log_TA)$ 次排序，每次 $O(n + T)$ 进行桶排，于是总时间复杂度 $O((n + T) \log_TA)$；空间上，桶排只需要需要 $O(T)$ 的空间。

事实上，如果数据中有负数，只需要正负分开，分别做一遍即可。

Sample

【P1177】【模板】快速排序

Description

给 $n$ 个值域为 $[1, 10^9]$ 的整数，要求排序后输出

Limitaions

$n \leq 10^5$

Solution

板板题

Code

#include <cstdio>
#include <vector>

const int t = 15;
const int d = 32767;
const int maxn = 100005;
const int maxt = 32768;

struct M {
  int pre, pro;
  
  M (const int x = 0) : pre(x >> t), pro(x & d) {}
};
M MU[maxn];

int n;
int ans[maxn];
std::vector<int>bk[maxt];

void Radix_Sort();

int main() {
  freopen("1.in", "r", stdin);
  qr(n);
  for (int i = 1, x; i <= n; ++i) {
    x = 0; qr(x); MU[i] = M(x);
    ans[i] = i;
  }
  Radix_Sort();
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    qw((MU[ans[i]].pre << t) | MU[ans[i]].pro, i == n ? '\n' : ' ', true);
  }
  return 0;
}

void Radix_Sort() {
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    bk[MU[ans[i]].pro].push_back(ans[i]);
  }
  int cnt = 0;
  for (auto &i : bk) {
    for (auto u : i) {
      ans[++cnt] = u;
    }
    i.clear();
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    bk[MU[ans[i]].pre].push_back(ans[i]);
  }
  cnt = 0;
  for (auto &i : bk) {
    for (auto u : i) {
      ans[++cnt] = u;
    }
  }
}