【MST】P2323 [HNOI2006]公路修建问题

Description

给定 $n$ 个点 $m - 1$ 条无向边，每条边有两种边权，贵一点的和便宜一点的。要求至少选择 $k$ 条贵边使得图联通且花费最大的边权值最小。

Input

第一行是三个整数 $n,m,k$。

下面 $m - 1$ 行每行描述一条边。

Output

输出最小花费与方案。

Hint

$1~\leq~n~\leq~10000,1~\leq~m~\leq~20000$ ，边权 $\leq~30000$

Solution

两种做法。

首先题面已经非常明显的提示二分答案，于是我们二分最大花费，然后对两种边分别跑克鲁斯卡尔即可。由于较贵的边有限制，所以我们优先跑较贵的边的克鲁尔卡尔，跑完再跑便宜的边。

这样做的正确性是因为对于一条合法的两个不同的联通块之间的边，他被枚举到的时候是一定会被选择的。

注意到克鲁斯卡尔的复杂度为排序 $O(m \log m)$，主算法 $O(m~\alpha(n))$，本题不需要排序，但是一共跑了 $O(\log c)$ 次主算法，所以总体时间复杂度为 $O(m~\alpha(n)~\log c)$

看起来那个 $O(\alpha(n)~\times~\log c)$ 非常不优美，直觉告诉我这一部分是可以被去掉的，于是我们考虑优化上述算法。

注意到我们在上述算法中对边权是否排序是不影响答案的，所以我们不妨对贵的边进行排序。然后我们发现对贵的边跑 MST 的时候等价于选择出至少 $k$ 条不同联通块之间的边。于是我们直接贪心的选出 $k$ 条边权最小的且能构成合法联通块的边。即对贵的边跑 MST 直到选出 $k$ 条边。

我们发现剩下的边选贵的还是便宜的是无所谓的，于是我们将他们混在一起排序，再对剩下的边跑一遍 MST 即可得答案。

这样做我们一共进行了 $O(1)$ 次克鲁斯卡尔 $O(m~\alpha(n))$ 的主算法，排序复杂度为 $O(m~\log m)$。由于 于是总复杂度 $O(m~(\log m + \alpha(n))$。成功的去掉了乘积

Code

$O(m~\alpha(n)~\log c)$:

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define ci const int
#define cl const long long

typedef long long int ll;

namespace IPT {
    const int L = 1000000;
    char buf[L], *front=buf, *end=buf;
    char GetChar() {
        if (front == end) {
            end = buf + fread(front = buf, 1, L, stdin);
            if (front == end) return -1;
        }
        return *(front++);
    }
}

template <typename T>
inline void qr(T &x) {
    char ch = IPT::GetChar(), lst = ' ';
    while ((ch > '9') || (ch < '0')) lst = ch, ch=IPT::GetChar();
    while ((ch >= '0') && (ch <= '9')) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = IPT::GetChar();
    if (lst == '-') x = -x;
}

namespace OPT {
    char buf[120];
}

template <typename T>
inline void qw(T x, const char aft, const bool pt) {
    if (x < 0) {x = -x, putchar('-');}
    int top=0;
    do {OPT::buf[++top] = static_cast<char>(x % 10 + '0');} while (x /= 10);
    while (top) putchar(OPT::buf[top--]);
    if (pt) putchar(aft);
}

const int maxn = 10010;
const int maxm = 20010;

struct Edge {
    int from, to, v, id;
    
    inline void build(int x, int y, int z, int w) {
        from = x; to = y; v = z; id = w;
    }

    inline bool operator<(const Edge &_others) const {
        return this->v < _others.v;
    }
};
Edge com[maxm], expen[maxm];

int n, m, k, dn;
std::vector< std::pair<int, int> > MU;
int ufs[maxn], rk[maxn];

bool check(int, bool);
int find(ci);
void  unionn(int, int);

int main() {
    freopen("1.in", "r", stdin);
    qr(n); qr(k); qr(m); dn = n - 1;
    for (int i = 1, a, b, c; i < m; ++i) {
        a = b = c = 0; qr(a); qr(b); qr(c);
        expen[i].build(a, b, c, i);
        c = 0; qr(c);
        com[i].build(a, b, c, i);
    }
    int l = 1, r = 30000, mid, ans = 0; 
    while (l <= r) {
        mid = (l + r) >> 1;
        if (check(mid, false)) ans = mid, r = mid - 1;
        else l = mid + 1;
    }
    qw(ans, '\n', true); check(ans, true); std::sort(MU.begin(), MU.end());
    for (int i = 0; i < dn; ++i) {
        qw(MU[i].first, ' ', true); qw(MU[i].second, '\n', true);
    }
    return 0;
}

bool check(int x, bool rec) {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) ufs[i] = i, rk[i] = 1;
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i < m; ++i) if (expen[i].v <= x) {
        int fa = find(expen[i].from), fb = find(expen[i].to);
        if (fa == fb) continue;
        unionn(fa, fb);
        if (rec) MU.push_back(std::make_pair(expen[i].id, 1));
        ++cnt;
    }
    if (cnt < k) return false;
    for (int i = 1; i < m; ++i) if (com[i].v <= x) {
        int fa = find(com[i].from), fb = find(com[i].to);
        if (fa == fb) continue;
        unionn(fa, fb);
        if (rec) MU.push_back(std::make_pair(com[i].id, 2));
        ++cnt;
        if (cnt == dn) return true;
    }
    return cnt == dn;
}

int find(int x) {return ufs[x] == x ? x : ufs[x] = find(ufs[x]);}

void unionn(int fa, int fb) {
    if (rk[fa] < rk[fb]) ufs[fa] = fb;
    else if (rk[fb] < rk[fa]) ufs[fb] = fa;
    else ufs[fb] = fa, ++rk[fa];
}

$O(m (\log m + \alpha(n)))$:

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define ci const int
#define cl const long long

typedef long long int ll;

namespace IPT {
	const int L = 1000000;
	char buf[L], *front=buf, *end=buf;
	char GetChar() {
		if (front == end) {
			end = buf + fread(front = buf, 1, L, stdin);
			if (front == end) return -1;
		}
		return *(front++);
	}
}

template <typename T>
inline void qr(T &x) {
	char ch = IPT::GetChar(), lst = ' ';
	while ((ch > '9') || (ch < '0')) lst = ch, ch=IPT::GetChar();
	while ((ch >= '0') && (ch <= '9')) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = IPT::GetChar();
	if (lst == '-') x = -x;
}

namespace OPT {
	char buf[120];
}

template <typename T>
inline void qw(T x, const char aft, const bool pt) {
	if (x < 0) {x = -x, putchar('-');}
	int top=0;
	do {OPT::buf[++top] = static_cast<char>(x % 10 + '0');} while (x /= 10);
	while (top) putchar(OPT::buf[top--]);
	if (pt) putchar(aft);
}

const int maxn = 20010;
const int maxm = 40010;

struct Edge {
	int from, to, v, id, tp;
	
	inline void build(int x, int y, int z, int w, int u) {
		from = x; to = y; v = z; id = w; tp = u;
	}

	inline bool operator<(const Edge &_others) const {
		return this->v < _others.v;
	}
};
Edge expen[maxn], tmp, edge[maxm];
std::vector< std::pair<int, int> >ans;

int n, k, m, ecnt, maxans;
int ufs[maxn], rk[maxn];

int find(int);
void unionn(int, int);
void printans();

int main() {
	freopen("1.in", "r", stdin);
	qr(n); qr(k); qr(m); int dn = n - 1;
	for (int i = 1, a, b, c; i < m; ++i) {
		a = b = c = 0; qr(a); qr(b); qr(c);
		expen[i].build(a, b, c, i, 1); c = 0; qr(c);
		edge[++ecnt].build(a, b, c, i, 2);
	}
	std::sort(expen + 1, expen + m);
	int cnt = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) ufs[i] = i, rk[i] = 1;
	for (int i = 1; i < m; ++i) {
		int fa = find(expen[i].from), fb = find(expen[i].to);
		if (fa == fb) {
			edge[++ecnt] = expen[i];
		} else {
			unionn(fa, fb);
			maxans = expen[i].v;
			ans.push_back(std::make_pair(expen[i].id, 1));
			if ((++cnt) == k) break;
		}
	} 
	std::sort(edge + 1, edge + 1 + ecnt);
	for (int i = 1; cnt !=  dn; ++i) {
		int fa = find(edge[i].from), fb = find(edge[i].to);
		if (fa == fb) continue;
		unionn(fa, fb);
		maxans = std::max(maxans, edge[i].v);
		ans.push_back(std::make_pair(edge[i].id, edge[i].tp));
		++cnt;
	}
	printans();
	return 0;
}

int find(int x) {return ufs[x] == x ? x : ufs[x] = find(ufs[x]);}

void unionn(int a, int b) {
	if (rk[a] < rk[b]) ufs[a] = b;
	else if (rk[a] > rk[b]) ufs[b] = a;
	else ufs[b] = a, ++rk[b];
}

void printans() {
	qw(maxans, '\n', true);
	std::sort(ans.begin(), ans.end());
	for (auto i : ans) {
		qw(i.first, ' ', true); qw(i.second, '\n', true);
	}
}