【数学】【P5150】 生日礼物
Description
给定 \(n\),求
input
一行一个整数代表 \(n\)
Output
一行一个整数代表答案
Hint
\(1~\leq~n~\leq~10^{16}\)
Solution
一开始看到这个形式以为是反演,然后看到数据范围就自闭了……
然后发现这是个唯一分解定理题……
吐槽一下标算 \(O(\sqrt{n})\) 暴力卡常 范围出1e16也太[数据删除]了吧(大雾
然后用py写了一发和标算差不多的暴力,惨遭卡常
所以这里来提供一种 \(O(\sqrt[3]{n})\) 的方法!
其实就是讨论里 @mrsrz 神仙的第一种踩标算做法
设
其中 \(p\) 为质数。
则显然有
我们考虑固定 \(x\) 第 \(i\) 位指数即 \(d_i~=~c_i\),则 \(e_i\) 选 \([0,c_i]\) 都是合法的,共 \(c_i~+~1\) 中选法。将 \(x,y\) 反过来同样成立。但是注意固定 \(d_i~=~c_i\) 时令 \(e_i~=~c_i\) 的选法和反过来是一样的,于是要把这个方案扣除 \(1\)。
所以对于第 \(i\) 个质因子的方案数为 \((2~\times c_i~+~1)\)。根据乘法原理,总方案数为
于是 \(O(\sqrt{n})\) 分解一下,发现py被卡常了。我们考虑一种更优秀的做法:
我们在分解质因数时,分解到 \(\sqrt[3]{n}\),即当 \(i^3~>~n\) 时停止。考虑现在 \(n\) 除掉已经筛出的质因子后剩下的值共有如下几种情况:
剩下 \(1\):这种情况对答案无贡献,无需理会
剩下的数是一个质数:显然这个剩下的数是 \(n\) 的最后一个质因子,并且指数显然为 \(1\),于是直接将答案乘 \(3\) 即可
考虑除去这两种情况外,剩下的数只能是两个质数的积,而不可能是更多质数的积。
证明上,可以设剩下的最小的质数是 \(p\),则有 \(p~>~\sqrt[3]{n}\),假设是 \(k\) 个质数的乘积,那么显然有剩下的数字 \(dn~\geq~p^k\)。由于 \(p^3~>~(\sqrt[3]{n})^3~=~n\),\(dn~\leq~n\),则在 \(k~\geq~3\) 时产生矛盾,于是 \(k~\leq~2\)。
再分两种情况:
剩下的数是一个质数的平方:直接将答案乘 \(5\) 即可
否则一定是两个质数相乘。考虑每个质数贡献 \(3\),所以将答案乘上 \(9\) 即可。
考虑如何快速判断剩下的数字是一个质数:直接进行米勒拉宾质数判定,时间复杂度 \(O(\log n)\)。
考虑不损失精度的判断一个数是一个完全平方数:直接进行二分开方,时间复杂度 \(O(\log n)\)
于是总时间复杂度 \(O(\sqrt[3]{n})\),踩爆标算
Code
def mpow(x, y, p):
_ret, _temp = 1, x
while y:
if y & 1:
_ret = _ret * _temp % p
_temp = _temp * _temp % p
y >>= 1
return _ret
def ML(x, n):
if n == x: return 1
sn = n - 1
s, d = n - 1, 0
while not (s & 1):
s >>= 1
d += 1
t = mpow(x, s, n)
if t == 1 or t == -1: return 1
for i in range(d):
if t == sn: return 1
t = t * t % n
return 0
def IsPrime(x):
if not (x & 1):
if x == 2: return 1
else: return 0
elif not ML(2, x): return 0
elif not ML(7, x): return 0
elif not ML(61, x): return 0
else: return 1
def IsPow(x):
l, r, mid, = 1, x, 0
while l <= r:
mid = (l + r) >> 1
k = mid * mid
if k < x: l = mid + 1
elif k == x: return 1
else: r = mid - 1
return 0
n = int(input())
ans, i, dn = 1, 2, n
while (i * i * i) <= n:
if (dn % i) == 0:
cnt = 0
while (dn % i) == 0:
dn //= i
cnt += 1
ans *= (cnt << 1) + 1
i += 1
if dn != 1:
if IsPrime(dn):
ans *= 3
elif IsPow(dn):
ans *= 5
else:
ans *= 9
print(ans)